Hopf代数胚上的扩张的表示理论

The present project is mainly involved in quantum groups and the representation theory of algebras. These two areas have a deep background in mathematics and physics, and have been the focus of research in pure and applied mathematics. In particular, from this point of the representation theory of algebras to study related problems of quantum groups , these studies have been deep into one of the core issues in the development of today's mathematics , and will hopefully be able to achieve significant progress. In this context, the project will mainly study the following three questions: (1) the cohomology theory of Yetter-Drinfel'd module categories, and the structures of (generalized) Yetter-Drinfel'd module categories over Hopf algebroids; (2) the representation theory of Galois extensions over Hopf algebroids; (3) the stability of representations of cleft extensions over Hopf algebroids.

本项目所涉及的领域主要是量子群和代数表示论。这两个领域具有深刻的数学和物理背景，一直是纯粹数学和应用数学的重点研究方向。特别地，从代数表示论这个角度考察量子群的相关问题，这些研究深入到了当今数学发展中的核心问题之一，并且有希望能够取得重要进展。在这样的背景下，本项目将主要研究以下三类问题：（1）Hopf代数胚 上，Yetter-Drinfel’d模范畴的上同调理论，及(广义)Yetter-Drinfel’d模范畴的结构；（2）Hopf代数胚上的Galois扩张的表示理论；（3）Hopf代数胚上的cleft扩张的表示稳定性。

本项目所涉及的领域主要是量子群、代数表示论和李代数. 这些领域具有深刻的数学和物理背景，一直是纯粹数学和应用数学的重点研究方向. 在本项目中，我们首先刻画了正规三角矩阵代数的Gorenstein投射模，并且给出了正规三角矩阵代数的模成为强Gorenstein投射模的一个充分条件；利用积分理论，我们研究了Hopf代数胚上的Galois扩张下的模范畴之间的Gorenstein内射预盖和Gorenstein投射预包络的保持性，证明了Galois扩张下Gorenstein整体维数是一个不变量；我们获得了Hopf代数胚上的crossed积的对偶定理，并在此基础上，分别分析了扭曲模代数与crossed积之间的有限表示型、表示维数、有限维数的关系. 其次，我们研究了一类特殊的Hopf代数胚，即弱Hopf代数。结合弱Hopf Galois扩张理论，我们获得了弱Hopf代数上的Militaru-Stefan提升定理, 并且证明了弱Hopf代数上的Wedderburn-Malcev定理和Levi定理. 最后，我们给出了计算一类既约包络代数的Cantan不变量的公式，并对任意的p-特征标，我们给出了它的Cantan不变量及其所有不可分解投射模的维数；同时，我们研究了Witt型李超代数在p-特征标高度为１时的表示，给出了Kac-模为单模的充要条件.