指标定理、椭圆亏格、非交换留数和热核

Atiyah-Singer index theorems and noncommutative geometry are the difficult and important research directions and have close relations with geometry, topology, analysis, number theory and physics. In this project, we study some problems in these two research directions, including proving some index theorems in the framework of noncommutative geometry; proving miraculous cancellation formulas of characteristic forms by developing modular invariance properties of characteristic forms; construting conformal invariants for complex manifolds and double conformal invariants by using noncommutative residue; proving the Kastler-Kalau-Walze theorem for nonminimal operators; computing equivariant heat kernel coefficients for manifolds with boundary and CR manifolds, and so on.

Atiyah-Singer指标定理和非交换几何是困难而且重要的研究方向，与几何、拓扑、分析、数论、物理都有密切联系。本课题主要是研究这两个方向中的一些问题，主要包括在非交换几何框架下证明一些指标定理；通过发展示性式的模性质来证明示性式的奇妙的消去公式；用非交换留数来构造复流形的共形不变量和双共形不变量；证明非极小算子的Kastler-Kalau-Walze定理；计算带边流形和CR流形的等变热核系数等。

我们用Greiner的热核渐进方法证明了一族算子的指标定理和等变指标定理。我们计算了等变一族算子的JLO特征。我们也定义了等变eta形式，给出它的正则性的证明。.用Greiner的热核渐进方法，我们给出了等变 Gauss-Bonnet-Chern 公式和Bismut-张的等边Ray-Singer 度量的变分公式的新的证明。我们证明了非交换一族算子的.Atiyah-Patodi-Singer 指标定理和非交换无穷小等变指标定理。. 我们证明了6维或5维带边流形的Kastler-Kalau-Walze 类型定理。我们也得到了紧致带边流形对应于带挠率的的Dirac算子的Kastler-Kalau-Walze定理。我们也得到了对应于扭化Dirac算子的Kastler-Kalau-Walze类型定理。 . 通过研究一些示性式的模不变性质，我们得到了(4r-1)维流形上的一些新的反常消去公式。作为应用，我们导出了(4r-1)维旋流形上的Toeplitz算子的指标的整除性结果和(4r-1)维旋流形上示性数的同余公式。. 我们研究了带有四分之一对称联络的Einstein卷积和多重卷积。我们也研究了具有常数量曲率带有四分之一对称联络的卷积和多重卷积。然后应用这些结果到带有四分之一对称联络的推广的Robertson-Walker 时空和带有四分之一对称联络的推广的Kasner时空。