塔代数的表示理论及相关Hopf代数

In 2009, with Bergeron I have introduced a series of axioms on a tower of algebras and studied two Grothendieck groups on the tower linked by a natural pairing. Using the induction and restriction in representation theory, we proved that our axioms give a structure of graded Hopf algebras on each Grothendieck groups and these structures are dual to each other. In 2012, with other coauthors using not only induction and restriction but also inflation and deflation in super character theory, we proved that the Hopf algebra of supercharacters of the group of unipotent upper triangular matrices over the finite field with q elements is isomorphic to the Hopf algebra of symmetric functions in noncommutative (q-1)-colored variables. We plan to generalized the inflation and deflation functors to the representation theory of towers of algebras and find new axioms to ensure that the two Grothendieck groups on a tower have Hopf algebra structures and dual to each other. This result would establish more valuable connections between the representation theory of towers of algebras to graded Hopf algebras.

2009年我和Bergeron首次建立了塔代数的公理化体系，如果一个塔代数满足我们提出的五个公理，这个塔代数的两个Grothendieck群都具有Hopf代数结构，而且是互相对偶的，其中Hopf代数的乘积和余积分别由表示论中的诱导和限制函子定义。2012年我与合作者一起研究了有限域上的幺幂上三角矩阵的超级特征标上的Hopf代数结构，其上的乘积和余积分别由超级特征标上的膨胀和限制函子定义，证明了q阶有限域上的幺幂上三角矩阵的超级特征标上的Hopf代数同构于(q-1)-着色的不交换元上的对称函数的Hopf代数。由上，如果要在塔代数的Grothendieck群上获得更丰富的Hopf代数结构只用表示理论中的诱导和限制函子是不够的。我们考虑将表示论中特征标的膨胀和紧缩函子推广到塔代数的表示上，建立更广泛意义下塔代数上的公理系统，从而获得塔代数表示理论与分次Hopf代数之间的更为丰富的紧密联系。

代数组合中有很多对互相对偶的分次Hopf代数结构来自塔代数的表示理论，其中最经典的例子是由对称群的表示理论得到的对称函数具有自对偶的分次Hopf代数结构。这些Hopf代数的乘积和余积大部分是由表示论中的诱导和限制函子分别定义的。但是不交换元上的对称函数的Hopf代数结构的乘积和余积是由超级特征标上的膨胀和限制函子分别定义，同时其分次对偶的Hopf代数上的乘积和余积是由诱导和紧缩函子分别定义。本项目的主要研究塔代数的表示理论及相关的Hopf代数结构，拟将超级特征标上的膨胀和紧缩函子推广到塔代数的表示上，获得塔代数表示理论与分次Hopf代数之间的更为丰富的紧密联系。同时研究一些相关的分次Hopf代数，通过其乘积和余积之间的关系，构造其分次对偶的Hopf代数结构，进一步给出相应的对极映射。我们获得的主要结果包括置换上的分次对偶Hopf代数机构、由渗透积给出的非分次Hopf代数结构、双子随机矩阵、广义Clifford代数的周期性以及偏序半群的Morita等价等等。这些结果，必将会加深我们对Hopf代数等相关数学学科的认识和了解，并促进它们的发展。