时滞反应扩散方程的高余维分支研究及其在浮游生态系统中的应用

Delay reaction–diffusion equations are used a lot in the fields of ecology,chemistry and other related fields. The phase space of delay reaction–diffusion equations is infinite dimensional, and because of the introduced time delay and diffusion terms, high codimensional bifurcations may occur frequently. Due to the phase space of delay reaction–diffusion equations changes, it is a challenge in studying high codimensional bifurcations. Basing on normal form method due to Faria, this proposal aims to investigate the normal form method of delay reaction–diffusion systems with universal parameters,and give the procedures to calculate the normal form of some codimension two Bogdanov-Takens, Turing-Hopf, Zero-Hopf bifurcations,by using the theory of semi-group of operators,formal adjoint theory,center manifold theorem,normal form method.Then we give the complete bifurcation sets near the singularities by symbolic computation and numerical simulations. Furthermore,we apply these results to the bifurcation analysis of the pelagic ecosystems, determin and analyze possible high codimensional bifurcations, and reveal the causes of complex phenomena.

时滞反应扩散方程在生态学、化学等领域都有比较广泛的应用。此类方程的相空间是无穷维的，并且由于扩散和时滞的存在，高余维分支常常出现。较之时滞微分方程，时滞反应扩散方程的相空间选取发生了变化，因而对其高余维分支理论的研究是非常有挑战的。本项目通过算子半群理论、形式伴随理论、中心流形定理和规范型方法，将Faria的规范型理论推广到带有普适参数的滞后型反应扩散方程，并针对几类余维二的Bogdanov-Takens分支、Turing-Hopf分支、Zero-Hopf分支给出具体的规范型。然后，结合计算机符号运算和数值仿真，给出分支临界点附近完整的分支集，并分析分支引起的复杂动力学行为。进一步，将所得结果应用到时滞反应扩散浮游生态系统，确定系统可能发生的高余维分支现象，分析分支引起的复杂动力学行为，并揭示复杂动力学行为产生的根源。

浮游生物是水生食物链的基础，并且由浮游生物引起的赤潮现象已经变成了世界性的环境问题，为了解释赤潮现象的发生，本项目以浮游生态系统为背景，研究系统可能出现的高余维分支现象，并分析分支引起的复杂动力学行为，进而揭示复杂动力学行为产生的根源。项目研究取得如下主要成果:第一、针对带有收获的浮游植物-浮游动物模型，研究了收获项参数和时滞对系统动力学行为的影响，给出了系统产生奇异诱导分支以及 Hopf 分支的条件，理论上得到了系统产生稳定性开关现象的原因，以及把奇异诱导分支控制到平衡点的方法。第二、针对具时滞的毒素浮游植物-浮游动物模型，研究了系统中各参数的分支行为，如：跨临界分支、鞍结点分支、fold分支、Hopf-fold分支以及双 Hopf分支，给出了系统产生双 Hopf 分支的条件和分支点附近的规范型，从而进一步得到了双 Hopf 分支点附近的完整的动力学行为。