时滞反应扩散方程的余维2分支及应用研究

The phase space of delay reaction-diffusion equations is infinite dimensional, high codimensional bifurcations may occur frequently. The codimension 2 bifurcations are the foundations of investigating the bifurcations of higher codimension, their analysis is of great importance for discovering and describing the complex dynamic behaviors. However, the study for codimension 2 bifurcations of delay reaction-diffusion equations encounters both the challenges from the infinite dimensionality of the phase space and the high degeneracy of the bifurcations. Basing on normal form method due to Faria, this proposal aims to investigate the normal form method of delay reaction-diffusion systems with universal parameters, and give the procedures to calculate the normal form of some codimension two Bogdanov-Takens, Turing-Hopf, Zero-Hopf bifurcations, by using the theory of semi-group of operators,formal adjoint theory, center manifold theorem, normal form method. Then we give the complete bifurcation sets near the singularities by symbolic computation and numerical simulations, and analyze the complex dynamics caused by bifurcations, the purpose of our project is to establish the theory for analyzing the codimension 2 bifurcations. We finally apply these results to the codimension 2 bifurcation analysis of the pelagic ecosystems and chemical reaction system, and reveal the causes of complex phenomena.

时滞反应扩散方程的相空间是无穷维的，高余维分支现象常常出现。余维2分支是探索高余维分支的基础，其研究对于发现和描述实际系统复杂的动力学行为具有重要的意义。然而，时滞反应扩散方程余维2分支的研究面临来自方程的无穷维相空间以及分支的高度退化性的双重困难。本项目通过算子半群理论、形式伴随理论、中心流形定理和规范型方法，将Faria的规范型理论推广到带有普适参数的滞后型反应扩散方程，并针对几类余维2的Bogdanov-Takens分支、Turing-Hopf分支、Zero-Hopf分支给出具体的规范型。然后，结合计算机符号运算和数值仿真，给出分支临界点附近完整的分支集，并详细分析分支引起的复杂动力学行为，从而建立时滞反应扩散方程余维2分支分析理论。最后，基于所建立的理论分析几类具有实际背景的浮游生态模型、化学反应模型的余维2分支现象，揭示实际系统产生复杂动力学行为的根源。

本项目以具体的系统模型为背景，研究其可能出现的分支现象，并分析分支引起的复杂动力学行为，进而揭示复杂动力学行为产生的根源。项目研究取得如下主要成果：第一、针对具有非线性收获的两类捕食食饵系统模型，研究了系统模型的双稳性、鞍结点分支、跨临界分支、亚临界和超临界 Hopf 分支以及 Bogdanov-Takens 分支。第二、针对具时滞的毒素浮游植物-浮游动物模型，研究了系统中各参数的分支行为，如：Turing 分支，Turing-Hopf 分支，给出了系统产生这些分支的条件和分支点附近的规范型，进一步得到了各个分支点附近的完整的动力学行为。第三、研究抽象的滞后型反应扩散方程的分支问题，针对几类余维一的 Turing 分支、Hopf 分支、稳态分支和余维二的 Bogdanov-Takens 分支、Turing-Hopf 分支，给出了具体的计算规范型的步骤，分析了分支点附近轨道分布的拓扑结构，给出了分支点附近完整的分支集，详细分析了分支引起的复杂动力学行为。