非线性时滞微分方程的高余维分支问题研究

High-codimension bifurcation theory of delay differential system is newly developed as an important branch of nonlinear dynamics. This project mainly focuses on the high-codimensional bifurcation in retarded and neutral delay differential equations, including resonant Hopf-Hopf bifurcation, nilpotent bifurcation, and some degenerated Hopf-zero bifurcations. We consider how delay and other parameters affect the topological structure of solutions and how to control the dynamics of a system with delay and some controllable parameters. The goals are to establish and consummate the normal form theory of high-codimension bifurcations, to obtain the unfolding system, universal unfoldings and the simplified method for deducing them, and to explain the new phenomena caused by bifurcation of periodic orbit or torus, homoclinic or heteroclinic bifurcation. Delay differential equation has infinite dimensional phase space, hence gives rise to quite rich dynamics. Furthermore, high-codimension codimension brings more complicated behaviors such as stable quasi-periodic orbits, homoclinic or heteroclinic bifurcation, and chaos, etc. Establishing and improving corresponding theory will not only enrich the theory of differential equations and dynamical systems, but also promote the development of topology, algebra, functional analysis, computational mathematics and other related subjects.

时滞微分方程的高余维分支问题是非线性动力学研究中重要而处于起步研究阶段的问题。本项目主要研究滞后型和中立型微分方程中的共振Hopf-Hopf分支、幂零分支、有某种退化的Hopf-zero分支等不同模态的高余维分支问题，考虑解的拓扑结构是如何随时滞以及其它系统参数的变化而变化的，并进一步考虑如何利用时滞和系统可控参数去控制系统的动力学行为。主要目标是建立和完善高余维分支的规范型理论，给出规范型的开折形式乃至普适开折形式及其推导简化方法，解释其伴有的周期轨分支、环面分支、同宿异宿分支等带来的解轨道的新现象。时滞微分方程的相空间是无穷维的，其动力学行为非常丰富，分支的高余维数更是导致了动力学性质的复杂性，如出现稳定的拟周期轨、同宿及异宿轨和混沌现象等。建立和发展阐明这些行为机理的理论，不仅可以丰富微分方程和动力系统自身的理论，也可能推动拓扑、代数、泛函分析及计算数学等相关学科的发展。

时滞广泛地存在于自然和工程实际中，时滞可以引起系统失稳而出现分支、混沌等复杂的动力学现象。高余维分支的研究是建立和发展阐明周期轨、同宿异宿轨和混沌等复杂动力学行为机理的理论，是非线性动力学研究中的重要组成部分。 本项目主要研究了滞后型泛函微分方程、中立型泛函微分方程以及偏泛函微分方程的Hopf-zero分支、Bogdanov-Takens分支、Hopf-Hopf以及各模态的Turing-Hopf分支等多种高余维数分支的发生机理，建立了这些方程在高余维数分支点的带有普适参数的规范型算法，得到了规范型的开折形式乃至普适开折形式。对于分支性质原不完全清楚的saddle-node-Hopf分支，建立了借助于中心流形理论和规范型方法的研究模式，得到了其分支集和相图，给出了异宿轨分支和二次Hopf分支的用系统原参数表达的局部近似表达式以及稳定的平衡点、周期轨、拟周期轨局部存在的参数区域。理论上研究了由中心流形方法和多时间尺度方法导出三阶约化规范型的一致性问题。将Kuramoto耦合大系统的同步模式问题研究转化为在Ott－Antonsen流形上的Hopf分支以及Bautin分支和双Hopf分支等高余维分支的研究，建立了迟滞回路存在的临界条件，证明了其存在性结果。对于捕食-食饵系统等有实际背景的模型，从高余维分支的角度揭示了时滞和其他可控系统参数对系统可能出现的周期轨、拟周期轨、同宿、异宿轨的存在性及稳定性的影响，解释了实际问题中种群数量变化的某些规律性结果。本项目发表研究论文34篇,其中被SCI 检索32篇。微分方程的周期轨、拟周期轨、同宿、异宿轨等解轨道的存在性和稳定性是非线性动力学研究中的重要问题，本项目关于高余维分支的研究结果为上述问题的解决提供了一条可行的研究途径，充实和丰富了微分方程和动力系统研究的理论和方法。