双时滞反应扩散方程的分支研究及其在浮游生态系统中的应用

Reaction-diffusion equations with two delays is more practical than the system with single delay, which has important applications in the field of ecology. This proposal aims to study the complex spatiotemporal dynamical behavior of reaction- diffusion equations with two delays from the point of view of high-codimensional bifurcation. Improve the analysis on the root distribution of the characteristic equation with multiple exponential terms, and study the existence of Hopf and Hopf-Hopf bifurcation using the theory of Hopf bifurcation; Employing the theory of semigroup of operators, formal adjoint theory, the center manifold reduction technique and the normal form method, we derive an algorithm for the normal form near a Hopf-Hopf bifurcation, give the structure of bifurcation, and then obtain the detailed dynamical behaviors near the bifurcation point. Furthermore, the analysis results are applied to two kinds of planktonic ecosystems. We study the high-codimensional bifurcations induced by the delay of toxin release and the delay of dormancy, analyze the influence of the delays on the stability, periodic oscillation and chaos of the systems, and reveal the formation mechanism of various spatiotemporal distribution of plankton. The study of this proposal can not only enrich the bifurcation theory of delayed reaction-diffusion equations, but also help us to understand some phenomena in practical problems from a mathematical perspective and reveal their internal laws.

双时滞反应扩散方程由于综合考虑了两个时滞对系统的影响，与单时滞系统相比更贴合实际，在生态等诸多领域有重要应用。本项目从高余维分支的角度深入研究双时滞反应扩散方程复杂的时空动力学行为。完善具有多个指数项的超越特征方程根的分布分析方法，利用Hopf分支理论，研究双时滞系统Hopf分支及Hopf-Hopf分支的存在性；利用算子半群理论，形式伴随理论，中心流形定理及规范型理论，推导Hopf-Hopf分支的规范型并设计其符号算法程序，给出分支结构，从而得到系统的局部动力学行为。进一步，将所得研究结果应用到两类浮游生态系统中。研究由毒素释放时滞及休眠时滞引发的分支，分析双时滞对于系统稳定性、周期解及混沌的影响，揭示浮游生物种群各种时空分布形成的机理。本项目的研究既可以丰富时滞反应扩散方程分支理论，又能从数学角度揭示生物现象和规律。

具有双时滞的反应扩散方程在传染病、生态等领域有重要的应用。本项目从高余维分支的角度深入研究双时滞反应扩散方程复杂的时空动力学行为，取得的主要结果有：(1)完善了一类双时滞模型对应的超越特征方程分析方法。首先分析两个时滞的几种特殊情形，得到稳定区域的某些子集，再寻找特征方程至少存在一对纯虚根的所有点，它们在双时滞平面上形成稳定性切换曲线，然后确定穿越Hopf分支曲线时特征根穿越虚轴的方向，最终得到双时滞平面上的Hopf分支曲线和整个稳定区域。(2)得到双时滞系统的双Hopf分支规范型公式，并得到分支点附近的分支集，从而获得双时滞平面内系统在分支点附近的完整动力学行为分类。(3)对于一类时滞反应-扩散系统，通过对Hopf分支临界值单调性的细致讨论，对时滞引发的Hopf分支临界值进行排序，证明了时滞可以诱导稳定性开关。(4)借助高余维分支分析，揭示了几类实际模型的时空动力学行为，如：在一类浮游生物模型中存在二维和三维环面上的拟周期解，该拟周期解经过小扰动消失，此时系统出现混沌现象并产生奇怪吸引子；在一类病毒感染与免疫模型中存在包含一个稳定的平衡点和两个稳定的周期解的三稳现象等，并解释了这些复杂时空行为形成的机理。