非交换留数和等变指标定理的研究

Atiyah-Singer index theorems and noncommutative geometry have close relations with geometry, topology, analysis, number theory and physics, the study of noncommutative residue in the framework of noncommutative geometry and equivariant index theory enrich the gravitational action for manifolds with boundary and the proof of index theory in some complex spaces. This project is concerned with the equivariant noncommutative residue for manifolds with boundary of noncommutative geometry and related problems for the equivariant family index formula of Toeplitz operators. It includes the following three parts: the proof of a general Kastler- Kalau-Walze type theorem for any dimensional manifolds with boundary in the framework of noncommutative geometry; the establish of the equivariant noncommutative residue for manifolds with boundary on Boutet de Monvel's algebra; the characterize of a family equivariant Chern-Connes character for Dirac operators, the proof of a equivariant family index formula for Toeplitz operators based on defining the equivariant higher spectral flow, and the generalization of the case in the framework of noncommutative geometry.

Atiyah-Singer指标定理和非交换几何与几何、拓扑、分析、数论、物理都有密切联系,研究非交换几何框架下的非交换留数和等变指标定理对带边流形的重力作用及一些复杂空间上指标定理的证明有重要意义.本课题拟研究非交换几何中带边流形的等变非交换留数和一族Toep-litz算子等变指标理论的相关问题.在非交换几何框架下,证明高维带边流形的Kastler-Kalau- Walze定理;探讨带边情形下的等变非交换留数理论,给出等变Boutet de Monvel代数上的非交换留数,并证明等变的Kastler-Kalau-Walze定理;考虑一族Dirac算子的等变陈-Connes特征,定义等变高阶谱流,建立相应的一族Toeplitz算子的等变指标定理,并推广到非交换几何框架.

源于一些复杂空间上指标定理的证明和带边流形重力作用的非交换留数刻画方法已成为非交换几何中一种基本、重要的方法. 本课题研究了非交换几何中带边流形的等变非交换留数和一族Toeplitz算子等变指标理论的相关问题.首先在非交换几何框架下考虑了带有非么正联络向量丛上扭化 Dirac 算子和 signature算子的 Lichnerowicz类型公式.计算出了与扭化 Dirac算子和 signature算子相关的 Kastler-Kalau-Walze 定理,导出了边界平坦情况下重力作用的算子理论.其次在法坐标系下导出了高维情形下的 Dirac算子符号局部表示,利用无边流形的非交换留数定理导出了带边流形高维情形下的内部项,结合符号演算导出了带边流形高维情形下的边界项,建立了高维带边流形情形下的 Kastler-Kalau-Walze类型定理. 进一步考虑了与非极小算子相关的带边流形的理论问题,研究了与非极小De-Rham Hodge 算子以及非极小laplacian算子相关的低阶流形的Kastler-Kalau-Walze 类型定理,建立了带边流形情形下与非极小De-Rham Hodge 算子相关的重力作用的算子理论.另一方面,考虑了一族Dirac算子的等变陈-Connes特征,结合等变高阶谱流,建立了相应的一族Toeplitz算子的等变指标定理. 这两方面的研究结果对于非交换几何的发展以及物理应用都具有较为重要的意义.