非交换留数理论和Atiyah-Singer指标定理的推广和应用

The research on the noncommutative residue theory and Atiyah-Singer index theorems under the framework of noncommutative geometry has important theoretical and applied values. The Kastler-Kalau-Walze theorem is a typical conclusion of noncommutative residue on gravity theory, and this theorem can be used to analyze the gravity action on manifolds. At present, the Kastler-Kalau-Walze theorems about Witten deformation and Dirac operators torsion are in the frame of lower dimensional manifolds with boundary. Starting from the needs for applied and theoretical development, we will generalize it to higher dimensional case. Furthermore, we will apply the results of research to analyze the boundary gravity of the manifold with boundary under the framework of noncommutative geometry. This work will provide valuable theoretical proof for the development of noncommutative geometry and physics application. On the other hand, we will use Getzler rescaling and Greiner's approach of the heat kernel asymptotics to prove the odd dimensional local equivariant index theorem about the Sub-Signature operator, and explore the inner relation between noncommutative residue and local index formula.

非交换几何框架下的非交换留数理论和Atiyah-Singer指标定理的研究推广工作具有重要的理论和应用价值.Kastler-Kalau-Walze定理是非交换留数在重力理论中的经典结论,可用它分析流形上的重力作用.从应用和理论发展的需求出发,本项目将低维带边流形框架内的关于Witten形变和带挠率的Dirac算子的Kastler-Kalau-Walze定理及相关非交换留数理论推广到高维带边流形的情况.应用推广后的研究结果,从理论和物理应用两方面分析非交换几何框架下带边流形上的边界重力作用,为非交换几何的发展和物理应用提供有价值的理论论证.另一方面,利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明Sub-Signature算子的奇数维等变局部指标定理，探寻非交换留数与局部指标公式的内在联系.

本项目资助类别为青年科学基金项目，执行期限为2020年01月01日--2022年12月31日，项目组成员只有主持人一人，研究方向为基础数学微分几何。. 本项目研究内容由两个模块组成：Kastler-Kalau-Walze定理（下文简称KKW定理）模块和Atiyah-Singer指标定理（下文简称指标定理）模块。项目负责人根据申请书中确定的研究目标、研究内容和研究进度开展了相关研究。本项目属于纯理论研究，因此关键数据即为重要成果，无附加数据。项目研究内容、进展、重要结果和科学意义叙述如下：. 理论构建工作：首先，KKW定理研究模块中完成了任意偶数维带边流形上关于Witten形变算子和带挠率的Dirac算子的非交换留数理论的分析和构建工作，证明了相关的KKW定理。本项目研究成果集中在任意偶数维带边流形上，奇数维的部分只突破了7维带边流形的情况，为进一步突破任意奇数维情况的研究打下了理论基础。其次，指标定理研究模块中完善和优化了关于Sub-Signature算子的偶数维等变局部指标定理构建和证明过程。. 理论应用工作：应用KKW定理分析非交换几何框架下的任意偶数维和7维带边流形的边界重力作用，丰富Einstein Hilbert作用的算子理论解释。. 以上研究成果以期刊论文的形式呈现，共发表5篇研究论文，其中3篇为SCI文章，两2为北大核心期刊文章。. 本项目执行不到位之处为：KKW定理研究模块中研究成果集中在任意偶数维带边流形上，奇数维带边流形上只突破了7维情况，还没到达任意奇数维的情况。指标定理研究模块中完善了原在研内容，未能突破本课题提出的偶数维到奇数维的推广，这也是负责人下一步继续挑战攻克的目标。