非对称矩阵锥互补问题的稳定性分析

The stability analysis has been an important part of the research on optimization theory. Recently, the nonsymmetric matrix optimization problems have been found many important applications in the fildes of science, engineering and so on, while the stability analysis for nonsymmetric matrix cone complementarity problem which is one important component of nonsymmetric matrix optimization is worth studying. The purpose of this project is to study the stability analysis for nonsymmetric matrix cone complementarity problems in which the matrix cones are defined by the epigraph of four matrix norms. The project includes the following contents: (1) The Clarke’s generalized Jacobian of the semismooth mapping which is equivalent to the nonsymmetric matrix cone complementarity problem will be computed, and the nonsingularity of the Clarke’s generalized Jacobian of the semismooth mapping will be studied. (2) The BD regularity for the semismooth mapping will be described. The relation of the BD regularity of the semismooth mapping and the nonsingularity of the Clarke’s generalized Jacobian will be discussed. (3) The Clarke’s generalized Jacobian of the smoothing mapping which is equivalent to the nonsymmetric matrix cone complementarity problem will be computed, and the nonsingularity of the Clarke’s generalized Jacobian of the smoothing mapping will be studied. (4) The strong regularity for the solution of the smoothing mapping will be established. The relation of the strong regularity for the solution of the smoothing mapping and the nonsingularity of the Clarke’s generalized Jacobian will be built. The stability analysis for nonsymmetric matrix cone complementarity problem will be obtained.

稳定性分析是优化理论研究的重要组成部分。近年来，非对称矩阵优化问题在科学和工程等领域中有着越来越重要的应用，而非对称矩阵锥互补问题作为非对称矩阵优化的重要组成部分，其稳定性的研究有着重要意义。本项目拟研究由四类矩阵范数定义的非对称矩阵锥互补问题的稳定性。内容包括：(1) 计算与非对称矩阵锥互补问题等价的非光滑方程组映射的Clarke广义Jacobian阵并讨论其非奇异性。（2）刻画非光滑方程组映射的BD正则性，并研究非光滑方程组映射的BD正则性与Clarke广义Jacobian阵的非奇异性的关系。(3) 计算与非对称矩阵锥互补问题等价的光滑化方程组映射的Clarke广义Jacobian阵并讨论其非奇异性。（4）刻画光滑化方程组映射的解的强正则性，并研究光滑化方程组映射的解的强正则性与Clarke广义Jacobian阵的非奇异性的关系。以期得到非对称矩阵锥互补问题的稳定性分析结果。

研究内容及重要结果：.一方面重点研究了非对称矩阵锥上优化问题、变分不等式及互补问题的稳定性分析理论；另一方面，在理论基础的研究之上，讨论了相应问题的增广拉格朗日方法、神经网络方法以及微分方程方法等。.本项目提出了一类新的二阶锥双约束变分不等式问题，并运用二阶锥的变分分析与优化的理论，对二阶锥双约束变分不等式的稳定性分析理论，包括一阶必要性条件、二阶最优性条件、强二阶充分条件以及稳定性的等价条件进行了系统的研究；并提出了增广拉格朗日方法对该问题进行算法设计和求解，得到了满意的结果。此部分内容形成论文4篇，均已经完成，投稿中。.本项目研究了随机二阶锥约束优化问题和随机二阶锥约束变分不等式问题的最优性条件、二阶充分性条件等稳定性分析理论。同时运用样本均值方法（SAA）对其进行数值算法的求解。与此同时，针对这些问题的Karush-Kuhn-Tucker条件，提出了二阶锥互补函数族的神经网络模型。此部分内容形成论文2篇，投稿中。.最后，本项目研究了具有约束条件的变分不等式问题和优化问题的微分方程方法，运用投影算子建立相应的微分方程系统，并研究了所建立的微分方程系统的轨迹的平衡点就是所求解的相应的变分不等式问题的解，这一过程与以往的应用李雅普诺夫函数是完全不同的。此部分内容完成论文5篇，其中4篇已经发表，1篇SCI检索，另一篇在投稿中。.科学意义：.①二阶锥双约束变分不等式的提出是一个创新，该问题是原有的双约束变分不等式问题的推广，其稳定性分析理论也是首次研究，对于该问题的算法设计给出了理论的指导。.②发现了非常有效的二阶锥互补函数，它们能与所提出的神经网络方法进行很好地配合使用，期待该函数在未来相关的工作中有更大的应用价值。.③微分方程系统的稳定性的研究与以往的应用李雅普诺夫函数的方法不同，值得进一步推广和研究。