对称锥权互补问题的理论与算法研究

A weighted symmetric cone complementarity problem consists of finding a pair of vectors belonging to the intersection of a manifold with a symmetric cone such that their product in the Euclidean Jordan algebra, equals a given weight vector. As an extension of symmetric cone complementarity problems, weighted symmetric cone complementarity problems have a wide range of applications in science and engineering. Even when a problem can also be modeled by a complementarity problem, the weighted complementarity problem model leads in some cases to a more efficient numerical solution method. Now there are rare works on weighted symmetric cone complementarity problems, which are mainly about weighted complementarity problems over Rn. Thus the problems and their solution will enrich the theories and research contents of mathematical programming. Our research project aims to study the theories and algorithms of weighted symmetric cone complementarity problems. The main research contents are summarized as follows. (1) We establish the basic mathematics models of weighted symmetric cone complementarity problems, and introduce some concepts, such as feasible solution, strict feasible solution, maximal complementarity solution. (2) By degree theory, we study the fundamental theories of weighted symmetric cone complementarity problems, such as the existence and uniqueness of the solution, the properties of the solution set. (3) Some feasible and efficient algorithms are presented to solve sufficient linear weighted complementarity problems over symmetric cones, nonlinear weighted symmetric cone complementarity problems, and other weighted symmetric cone complementarity problems; then the related theoretical analysis and numerical experiments are given. The research of our project has an important significance in both theory and practice.

对称锥权互补问题是寻找流形和对称锥的交集中的一向量对，使得该向量对在欧几里得约当代数上的积等于一个给定的权向量。以对称锥互补问题为特例的对称锥权互补问题在许多科学和工程等领域应用广泛，即使当一个问题可以建立互补模型也可以建立权互补模型时，后者在某些情形可以比前者更有效地求解。目前关于对称锥权互补问题鲜有研究，且仅限于讨论Rn上的线性权互补问题，因而该问题的提出和解决将会丰富数学规划的理论和研究内容。本项目旨在探讨对称锥权互补问题的理论和算法，主要内容如下：(1)建立对称锥权互补问题的基本数学模型，并给出可行解、严格可行解、最大互补解等概念。(2)运用度理论研究对称锥权互补问题的基本理论，如解的存在性和唯一性、解集的性质等。(3)设计求解对称锥上充分线性权互补问题、对称锥非线性权互补问题等对称锥权互补问题的可行有效算法，并进行相关理论分析和数值实验。本项目的研究具有重要的理论意义和应用价值。

对称锥权互补问题是寻找流形和对称锥的交集中的一向量对，使得该向量对在欧几里得约当代数上的积等于一个给定的权向量。作为对称锥互补问题的推广，对称锥权互补问题在金融和工程等领域应用广泛，即使当一个问题可以建立互补模型也可以建立权互补模型时，后者在某些情形可以比前者更有效地求解。本项目主要研究了对称锥权互补问题的理论与算法，具体内容如下：.(1)研究了对称锥权互补问题的基本理论。探讨对称锥权互补问题的数学模型，并给出基本概念，如可行解、严格可行解、解集和解集的相对内部等概念。讨论欧几里得约当代数上的水平线性权互补问题，给出解的存在和唯一性结果。对于欧几里得约当代数上的一对线性变换，引入R0、R和P性质的概念，讨论水平线性权互补问题在非零（拓扑）度条件下的可解性，并给出Rn上的唯一性结果。.(2)设计了求解对称锥权互补问题的有效算法，如内点算法、光滑方法和下降算法等。提出求解Rn上(充分)线性权互补问题的内点算法，分析算法生成的迭代点的严格可行性，并证明算法具有与线性优化的多项式时间迭代复杂度同样好。提出对称锥权互补问题的光滑函数，可用于对称锥权互补问题的光滑方法和下降算法等。讨论了二阶锥权互补函数的光滑函数的雅可比相容性，这在二阶锥权互补问题的光滑方法的快速收敛性分析中起着重要作用。运用欧几里得约当代数理论，对算法进行了适定性分析，全局收敛性分析和局部收敛性分析等；并进行数值实验，验证了算法的有效性。.作为一个新的研究课题，对称锥权互补问题的研究具有重要的科学意义和应用前景。一方面，本项目的研究更加丰富数学规划的研究内容、理论和算法等；另一方面，本项目的研究可有效解决某些领域的实际均衡问题，如求解Fisher市场均衡问题，大气化学和多体动力学等均衡优化问题。