非对称矩阵锥互补问题理论、算法的研究及其应用

Recently, matrix optimization problems have been found many important applications, and symmetric matrix cone complementarity problems, that is, semidefinite complementarity problems are tending perfect, while the nonsymmetric matrix cone complementarity problem, one important component of matrix cone programming, is worth studying. The purpose of this project is to study the theory, numerical methods for solving nonsymmetric matrix cone complementarity problems and their applications. The project includes the following contents: (1)Nonsymmetric matrix cone complementarity functions and their properties will be studied, based on which the nonsymmetric matrix cone complementarity problem is reformulated as a semismooth system of equations. The calculation for B-subdifferential of the semismooth mapping is discussed and the nonsingularity of the B-subdifferential will be investigated,based on which the convergence of the semismooth Newton method is demonstrated. The semismooth Newton methods are applied to solve the concrete nonsymmetric matrix cone complementarity problem and the numerical results are reported. (2)The properties of nonsymmetric matrix cone smooth functions will be studied. The smoothing Newton methods will be derived from solving an eqivalent smoothing representation of the nonsymmetric matrix cone complementarity problems. The smoothing Newton methods will be used to solve the concrete nonsymmetric matrix cone complementarity problem and the numerical results are reported. (3)The merit functions for solving nonsymmetric matrix cone complementarity problems and the merit-function-based methods will be studied. Conjugate gradient methods and qusi-Newton methods will be adopted to slove the unconstrained optimization problems. The merit-function-based methods are applied to solve the concrete nonsymmetric matrix cone complementarity problem and the numerical results are reported.

近年来，矩阵优化问题有着越来越重要的应用，对称矩阵锥互补问题即半定互补问题的研究日趋完善，而非对称矩阵锥互补问题作为矩阵规划的重要组成部分，对其研究有着重要意义。本项目拟研究非对称矩阵锥互补问题理论、算法及其应用。内容包括：(1)研究非对称矩阵锥互补函数及其性质，基于它们得到半光滑方程组。计算半光滑方程组中映射的B-微分，并证明B-微分的非奇异性，得到半光滑牛顿法的收敛性。应用半光滑牛顿法求解具体非对称矩阵锥互补问题，得到数值结果。(2)研究非对称矩阵锥光滑函数及其性质。基于求解与非对称矩阵锥互补问题的等价光滑方程组，得到光滑化牛顿法。应用光滑化牛顿法求解具体非对称矩阵锥互补问题，得到数值结果。(3)研究非对称矩阵锥互补问题的效益函数及基于效益函数的无约束优化方法。运用共轭梯度法、拟牛顿法等求解无约束优化问题。应用基于效益函数的无约束优化方法求解具体非对称矩阵锥互补问题，得到数值结果。

非对称矩阵锥互补问题作为矩阵规划的重要组成部分，对其研究有着重要意义。本项目首先研究了广义非对称矩阵锥互补问题的效益函数，得到了投影残差函数、间隙函数、正则化的间隙函数、隐拉格朗日函数、Luo和Tseng函数五类效益函数，并得到了这些效益补函数凸或可微的条件，为非对称矩阵锥互补问题算法的研究及其应用奠定了基础。到目前为止，优化界公认的在有限维空间研究互补问题与变分不等式的理论与算法的集大成者为Facchinei和Pang的专著“Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems”，该专著收集了有限维空间中互补问题与变分不等式问题的主要成果，但是该专著没有提及求解变分不等式的微分方程方法。而微分方程方法和人工神经网络方法密切相关，是非常值得研究的数值方法，可求解复杂结构的变分不等式问题和均衡规划问题。本项目研究了具有约束条件的均衡规划问题的微分方程方法，运用投影算子和拉格朗日函数可将具有约束条件的均衡规划问题进行等价变换，建立了二阶微分方程系统，证明了二阶微分方程系统的聚点是具有约束条件的均衡规划问题的解，给出了三个数值算例说明微分方程方法的有效性。在此基础上，研究了具有不等式约束的变分不等式问题的微分方程方法，通过一系列的等价变换建立了一阶微分方程系统，证明了一阶微分方程系统的全局收敛性。最后，在应用精确罚函数方法求解具有不等式约束的优化问题的过程中，得到了到正卦限上的投影的l1范数上图的思想。本项目定义了到正卦限上的投影的l1范数的上图，并研究了上图的性质，主要包括：计算上图的对偶锥、极锥、切锥、法锥，到上图的投影算子的计算、临界锥、临界锥的仿射包、在投影点的切锥的线性化空间、上图的二阶切集，到上图的投影算子的方向导数和B微分。这些性质的研究将会对约束集合为到正卦限上的投影的l1范数的上图的锥规划问题的算法及灵敏性和稳定性分析的研究奠定基础，从而为l1精确罚函数方法的改进做好准备。