双临界分数阶椭圆型方程（组）解的存在性及其性态研究

This project mainly study the existence, multiplicity and their properties of solutions for several categories fractional p-Laplace equations involving double critical exponents. Nonlocal fractional operators naturally appear in the practical application model, such as the minimal surface, financial mathematics, fluid dynamics and so on. So it is very important to research non-local operators. In recent years many scholars are paying much attention on them..This project will be discussed: 1)Proposing constraint minimal rather than concentration-compactness principle to discuss with the disturbance the existence of nontrivial solutions and their concentration of inhomogeneous fractional p-Laplace equations involving double critical exponents; 2)Using Mountain Pass Lemma, Ekeland variational principle and the deficient theory to study the existence and asymptotic behavior of solutions to fractional p-Kirchhoff equation with potential disappeared into infinite and double critical exponents; 3)Using the topological degree method and invariant set of the drop flow method to discuss the existence and the nonexistence of solutions of the weighted fractional Schrodinger equations with double critical nonlinearities..Due to care about solutions in whole space and many variational skills in the local application are invalid, at the same time, the existence of double critical index leads to a lack of compactness, so our research involves the finer estimates. We have to consider new methods and techniques, and then improve the relevant theoretical system, so this topic research is meaningful.

本项目主要研究具有双临界指数的分数阶p-Laplace方程（组）解的存在性、多重性及其性质。分数阶算子自然地出现在极小曲面、金融数学、流体动力学等实际应用模型中，从而对于它的研究显得十分重要。 .本项目将讨论：1)拟采用约束极小而非集中紧原理来讨论含有扰动项的非齐次双临界分数阶p-Laplace方程非平凡解的存在性和集中性；2)拟利用山路引理、Ekeland变分原理和亏格理论得到位势消失到无穷的双临界分数阶退化p-Kirchhoff 型方程无穷多解的存在性及渐近性；3)拟利用拓扑度和下降流不变集等方法来讨论加权双临界分数阶Schrodinger方程组非平凡（多）解的存在性与非存在性。.由于关心的是解在全局上的性态，很多在局部上应用的变分技巧常失效，同时双临界指数的存在导致了紧性的缺失，因此我们的研究涉及更精细的估计，要考虑新的方法和技巧，继而完善相关理论体系，所以本课题的研究有意义。

本项目主要研究了具有双临界指数的分数阶方程（组）解的存在性、多重性及其性质。分数阶算子自然地出现在极小曲面、金融数学、流体动力学等实际应用模型中，从而对于它的研究显得十分重要。本项目采用的基本方法是变分法，结合上同调指标的抽象临界点原理证明了双临界基尔霍夫p拉普拉斯方程解的存在性和多重性；借助与形变引理和Miranda定理相关的变分法得到了薛定谔基尔霍夫型方程基态变号解的存在性。同时也利用Morse理论，通过计算临界群在原点和无穷远点的衰减性，得到分数次超线性基尔霍夫方程非平凡解的存在性。还利用下降流不变集的方法，给出了一类 Kirchhoff问题的一个变号解的存在性。进一步地，在一定条件下得到了无穷多变号解的存在性。通过约束在Nehari-Pohozaev流形上极小化得到具有临界增长的分数阶薛定谔-泊松方程组非平凡基态解的存在性。对于拟线性薛定谔方程变号驻波解的存在性和多重性也有一定的研究。由于关心的是解在全局上的性态，很多在局部上应用的变分技巧常失效，同时双临界指数的存在导致了紧性的缺失，因此我们的研究继而完善相关理论体系。本课题的研究具有广泛的物理意义，同时涉及更精细的估计，考虑到了一些新的方法和技巧，发展出了非线性泛函分析中新的方法和工具，促进了数学分支发展，是有意义的。