带耗散结构双曲方程组解的存在性及渐近性态

本项目研究带耗散结构的双曲方程组在整个空间的柯西问题解的整体存在性，初始值可分为常状态附近的小扰动，大扰动以及基本波附近的小扰动等情况，并在解整体存在的情况下，研究解在大时间状态下的渐近性态，包括解的L-p估计和逐点估计。非线性双曲方程是经典物理学的基本方程，描述了许多在不同状态下非线性波的相互作用关系，它在工程技术领域的应用十分普遍。由于考虑问题的不同，双曲方程可以加上不同的物理效果，如松弛，阻滞，粘性，化学反应燃烧等耗散结构。这类方程中最具代表性的是Navier-stokes方程。此类方程组因既有双曲特性，又有抛物特性，我们不能单纯用处理某一类方程的方法来研究它，而且本项目又涉及方程组，多空间维数，大扰动，逐点估计等，这些是公认困难的问题，目前研究成果不多，缺乏系统的方法。我们希望采用格林函数，能量估计，微局部分析和调和分析等工具相结合的方法进行研究。

本项目拟研究带耗散结构双曲方程组在R^n空间解的整体存在性和大时间状态的估计。经过三年的研究，已取得以下成果：.1）带粘性的双曲波动方程是典型的双曲抛物方程，我们在解整体存在的基础上，研究了此方程在小初值时奇数维空间解的逐点估计；.2）Benjamin-Bona-Mahony方程是研究在非线性扩散媒介中长波传播的模型，是带耗散结构的双曲方程。此方程不同初值情况都得到了很多数学家的关注，取得了很多成果，但大部分结论都是在低维空间得到的。我们结合不动点理论，能量估计，频谱分析，傅里叶变换等工具证明了此方程在任意维空间小初值时解的整体存在性和最佳L-2衰减估计，然后又得到了解的逐点衰减估计；.3）对流扩散方程描述了物质运输及扩散的综合过程，在水利运输，环境工程，化工和冶金等领域都得到了重视，这也是一个双曲抛物方程。我们通过构造一个Banach空间柯西序列的方法证明了方程小初值问题解的整体存在性及H^s模的衰减估计。.我们现在获得的成果都还是在小初值的情况，大初值的情况正在考虑中。但总体来说，我们觉得本项目完成情况较好，达到了预期目标。