群表示理论在模型全局内蕴对称分析中的应用研究

Detecting and analysis the symmetry in geometric models are important research problems in computer graphics with wide applications in model completion, denoising, compression, segmentation, retrieval, and beautification. The current representation method of global intrinsic symmetry is mainly limited on point-to-point approach, which is not easy to use and need a large amount of storage space. Furthermore, none of the proposed methods can extract all of the global intrinsic symmetries at the same time. Using the group representation theory as basis, this project would study the current exist key problems in global intrinsic symmetry analysis. First, we would study the representation method of global intrinsic symmetry, and construct a simple and efficient group representation method so as to solve the drawback of the current global intrinsic symmetry representation method limited to the point-to-point approach, and provide a powerful theory tool for the analysis of global intrinsic symmetry. Then, we would also investigate the method that can detect all of the global intrinsic symmetries at the same time using the constructed group representation of global intrinsic symmetry. At last, we would also compute the global intrinsic symmetry invariant functions, fixed points, and the character system of group representation, and the other geometric quantities on models, and use them in practical problems, such as model classification and retrieval, segmentation, symmetry aware texture synthesise and so forth. This project has important theoretical significance and practical value.

几何模型上对称的检测和分析是计算机图形学中重要的研究课题，广泛地应用于模型的修补、去噪、压缩、分割、检索、美化。目前几何模型上全局内蕴对称的表示方法主要局限于需要大量存储空间、难以使用的点对点表示方式，并且还没有一种方法能够有效地同时检测到模型上所有的全局内蕴对称。本项目拟以群表示为理论基础，对全局内蕴对称分析中上述存在的问题进行研究。首先，将对模型上全局内蕴对称的表示方法进行研究，以构造全局内蕴对称的一种简单易用的群表示，解决当前全局内蕴对称的研究主要依赖于复杂的点对点表示方式的局限，为全局内蕴对称的分析提供一有力理论工具。然后，利用构造的全局内蕴对称的群表示，研究能够同时检测到模型上所有全局内蕴对称的方法。最后，还拟计算模型上的全局内蕴对称不变函数、不动点、以及群表示的特征标系等几何量，并将其应用到模型分类和检索、分割、对称相关纹理合成等实际问题。本项目具有重要的理论意义与实用价值。

几何模型的对称性广泛地应用于模型的修补、细节编辑、压缩、分割、检索等实际问题中。从而，对几何模型全局内蕴对称的表示、检测及其相关应用的研究在数字几何处理中具有重要理论意义和应用价值。围绕以上主题，本项目主要研究内容包括几何模型上全局内蕴对称的群表示的定义、计算、检测及在检索和细节编辑上的相关应用等。本项目的主要研究成果如下：将几何模型上的全局内蕴对称表示为模型上函数空间的线性变换，当给定函数空间上的一组基底后可以用矩阵表示；从理论上证明，若几何模型上Laplace-Beltrami算子的特征函数作为函数空间的基底，每个全局内蕴对称在一定条件下可以由有限数目的对称点对唯一地决定，其中对称点对的最少数目等于Laplace-Beltrami算子特征值的最大重数；基于上述理论，提出了一种带状求解函数映射的方法，进而提出了一种能够同时检测几何模型上镜面型和旋转型全局内蕴对称快速方法；提出了一种基于Laplace-Beltrami算子谱描述子的三维非刚性几何模型的检索方法；提出了三维模型上一种基于Laplace-Beltrami算子的向量值函数的经验模式分解；将几何模型上基于Laplace算子的最小二乘网格推广为最小二乘图像用于图像的平滑，在此基础上对保持结构的纹理图像平滑和分割进行研究。在本项目的资助下，发表学术论文8篇(1篇出版中)，包括计算机图形学领域国际著名期刊Computer Graphics Forum、The Visual Computer等，并在顶级会议Pacific Graphics上宣读；申请软件著作权3项；培养硕士研究生1名，在读研究生2名；项目负责人王辉获石家庄铁道大学和河北省优秀青年基金支持。