约化群的酉表示及对称空间

本项目将在Dirac算子、Dirac上同调、李代数上同调、约化群表示论以及李理论在对称空间中的应用等方面展开研究。约化群的酉表示是近二十年来数学的最活跃的领域之一,它在数论、几何、调和分析及理论物理等众多领域有着重要的应用，国内对此的研究相对薄弱。对酉表示的上同调的研究是近年来发展的一个新方法。我们将研究Lie代数上同调与Dirac上同调之间的关系，利用K理论和示性类的相关结果将Dirac上同调推广到更广泛的情形，最终应用到对约化群酉表示的分类中，以得到酉表示分类的更完美的结果。已有的研究成果表明，我们的研究方法是卓有成效的，这一研究方向也是有极大的发展和应用前景。在李理论的应用方面，我们利用严方法和Satake图解法研究对称空间的全测地子流形的分类。这是E.Cartan于上世纪初提出的问题，目前得到的最好结果是我们关于极大秩全测地子流形的分类。对这一问题的完全解决也指日可待。