带拟周期强迫项的非线性薛定谔方程的拟周期解及KAM理论

Integrable Hamiltonian systems and its perturbed systems arise widely in all areas of mechanical, acoustic, optical, life sciences and social sciences. The existence of quasi-periodic solutions of nonlinear Hamiltonian partial differential equations is an important branch of nonlinear science. So far, there exist many results about quasi-periodic solutions of nonlinear Schrödinger equations , but little is known about quasi-periodic solutions of eqution with a forced term. Based on the applicant's research work on KAM theory which prove the existence of quasi-periodic solutions of nonlinear wave equations with quasi-periodic forcing, this project will further investigate the applications of KAM theoty in the quasi-periodic solutions of one dimensional and high dimensional Schrödinger equations without introducing artificial parameters, and provide more information of the dynamics of quasiperiodic solutions.

可积哈密顿系统及其摄动系统广泛地出现在力学、声学、光学、生命科学及社会科学的各个领域。非线性哈密顿偏微分方程的拟周期解的存在性是非线性科学研究的一个重要分支。到目前为止，已有了大量的非线性薛定谔方程拟周期解的结果，但有关带拟周期强迫的非线性薛定谔方程拟周期解的研究不多。基于申请人已完成的利用KAM理论证实带拟周期强迫项的非线性波动方程的拟周期解的存在性，本项目旨在，在不引入参数的情况下，进一步研究KAM理论在一维及高维薛定谔方程拟周期解的存在性方面的应用，并获得拟周期解附近的动力学性态。

本项目分别讨论了带拟周期强迫项的一维非线性薛定谔方程在狄利克雷边界条件下拟周期解的存在性和带拟周期强迫项的二维非线性薛定谔方程在周期边界条件下拟周期解的存在性。通过引入算子的正交特征函数，将方程转化为无穷维哈密顿系统。然后通过一个线性拟周期变量变换，把相应的哈密顿系统的线性部分变换为常系数的线性系统。最后经由KAM理论，证明了上述两类方程均有很多拟周期解。除了证明拟周期解的存在性，KAM理论还在解的领域内构造了标准型，得到了解的一些动力学性质，比如解的稳定性和零Lyapunov指数。