KAM理论在刘维尔频率的拟周期系统中的应用

Quasi-periodic differential dynamical systems play an important role in dynamical systems and mathematical physics as a source of examples of interesting and fundamental phenomena in physics, such as the structure of quasi-crystal, quantum Hall effect and oscillation of oscillators forced with two or more incommensurate frequencies. The qualitative theory of the system and the spectral property of the corresponding operator are fundamental topics in dynamical systems.. KAM theory was developed since the 1950's for conservative dynamical systems that are nearly integrable. KAM theory establishes persistence of most invariant tori carrying quasi-periodic motion in completely integrable systems under small perturbations. Nowadays, KAM theory provides powerful tools for the systematic analysis of many dynamical systems. However, due to the occurrence of small divisor problem, the classical KAM theory can only deal with the systems with Diophantine frequencies. There are just a few results on the application of KAM theory in quasi-periodic systems with Liouvillean frequencies, and therefore need further development. This project aims at deep study of some important problems on the reducibility of quasi-periodic systems with Liouvillean frequencies and the spectral properties of the corresponding operators.

拟周期微分动力系统在动力系统和数学物理中具有重要作用，描述了物理中许多有趣和基本的现象，如准晶体结构、量子霍尔效应和多频振子的振动等。其中系统的定性理论和相应算子的谱性质是动力系统中研究的基本课题。. 自20世纪50年代发展至今，KAM理论在近可积保守动力系统的研究中发挥了重要作用：KAM理论说明了完全可积系统中携带拟周期运动的不变环面，在扰动下大部分仍然被保持。现在，KAM理论已经成为对许多动力系统进行系统分析的强有力的工具。然而，由于小分母问题的出现，经典的KAM理论只能处理丢番图频率的系统，在刘维尔频率的拟周期系统中的研究成果相对较少，有待进一步发展。本项目拟利用KAM理论对刘维尔频率的拟周期系统的约化问题和相应算子的谱性质方面的几个重要问题进行深入研究。

拟周期动力系统由于其广泛的数学物理背景，如薛定谔算子的谱理论、拟水晶结构、量子霍尔效应等，近些年受到数学和物理学家的广泛关注。本项目主要利用推广的KAM理论和多尺度分析等方法，从以下三个方面对拟周期线性系统及非线性系统进行了研究：首先，我们考虑了非超刘维尔频率的解析拟周期驱动圆周流的线性化问题，证明了当系统靠近常值旋转时，如果纤维旋转数关于底频是丢番图的，那么系统是C^∞旋转线性化的；同时，我们还证明了在该类系统中，锁模的系统是局部稠密的。其次，我们研究了多频拟周期薛定谔cocycle的约化和相应算子绝对连续谱的存在性问题，证明了当频率满足弱刘维尔条件时，如果系统的纤维旋转数关于底频是丢番图的，系统的局部C^∞旋转可约性，进而证明了算子绝对连续谱的存在性。最后，我们还研究了拟周期驱动圆周映射中锁模平台的稠密性问题。利用多尺度分析的方法，我们证明了一维丢番图频率驱动的拟周期C^1圆周映射，在某些开条件下，具有无穷多个锁模平台；同时，利用构造的方法，我们还研究了在拓扑通有情况下锁模平台的稠密性问题，证明了对于满足扭转条件的通有参数族的拟周期驱动圆周同胚，其旋转数关于参数是一个魔鬼的阶梯；我们还考虑了丢番图频率驱动的一维保向C^1圆周微分同胚的几何结构，证明了存在关于该类单参数族的微分同胚的一个非空开集，对于其正测度的参数而言，系统的不变测度是1-可求长的。