N体问题周期解和拟周期解的研究

The N-body problem, which describes the motion law of N masses interacting through Newtonian universal gravitation, has attracted the attention of many scientists for more than 300 years. We focus on the study of its periodic and quasi-periodic solutions. Periodic and quasi-periodic solutions of the N-body problem are critical points of the Lagrangian action functional on suitable classes of symmetric loops. We intent to use the knowledge of variational method, group representation theory, ordinary differential equations, topology, geometry and index theory to find new periodic and quasi-periodic solutions, prove their existence, classify them and study their stability and other geometric properties.

N体问题是研究N个天体仅在牛顿万有引理作用下的运动规律，近三百多年来一直吸引着科学家们的注意。我们着力于其周期解和拟周期解的研究，而N体问题周期解和拟周期解对应于Lagrange作用泛函在适当轨道空间的非碰撞临界点，所以我们打算综合运用变分法、群表示论、常微分方程、拓扑、几何和指标理论等发面的知识去寻找新的周期解和拟周期解，证明这些临界点的存在性，对它们进行分类并研究他们的稳定性及其它几何性质。

N体问题是研究N个天体仅在牛顿万有引理作用下的运动规律，近三百多年来一直吸引着科学家们的注意. 我们着力于其周期解和拟周期解的研究，而N体问题周期解和拟周期解对应于Lagrange作用泛函在适当轨道空间的非碰撞临界点，所以本项目主要通过变分方法对其进行研究.具体的在本项目中，我们重点研究了舞蹈解，简洁、本质的证明了在仅有舞蹈限制下，使得变分泛函最小的运动一定是平凡的正多边形相对均衡解. 证明过程中，我们推广了经典的Poincaré-Wirtinger不等式，使其可以应用在一类带舞蹈解限制的多体问题中. 同时在对变分极小解的正则性分析过程中，我们对一类重要的共圆中心构型进行了分析，证明了对任意的齐次势问题，位于正N边形N个顶点的质点构成中心构型当且仅当它们质量相等.