单位球Bergman空间上的Toeplitz算子的一些代数性质

The study of Toeplitz operators not only supplys an important connection between functional analysis and topology, differential geometry, as well as multiple analysis, but also plays important roles in the formation of BDF-theory, KK-theory and development of noncommutative geometry. At present, the study of Toeplitz operators on the Bergman space is mainly on harmonic symbols, while the research on general symbols is very little. For further understanding of the properties of Toeplitz operators, this project intends to study Toeplitz operators with general symbols on the Bergman space of the unit ball. At first, we will prove that every function in L^2（B） has the decomposition of quasihomogeneous symbols and then give definitions of Mellin transform and Mellin convolution on the function space of several complex variables. Secondly, we intend to introduce the property (P) and discuss the commutativity, finite rank perturbation and some other properties of the Toeplitz operators by combining the Mellin transform, reproducing kernels, Berezin transform and other instruments, as well as of the function theory and operator theory. The results of this project will provide new ideas and methods to solve some important questions in complex analysis and operator theory.

Toeplitz算子的研究不仅提供了泛函分析和拓扑学、微分几何以及多元复分析之间的重要连 接，而且在BDF-理论的形成、KK-理论和非交换几何的发展中有重要的作用和影响。目前对 Bergman空间上的Toeplitz算子的研究主要集中在调和符号上，而对于一般符号的研究较少。为了进一步了解该算子的性质，本项目拟以单位球Bergman空间上一般函数为符号的Toeplitz算子为主要研究对象，首先证明L^2（B）空间中的任意函数都有拟齐次分解形式，进而给出多变量函数空间上Mellin变换和Mellin卷积的定义；其次通过（P）性质的引入，结合Mellin变换、再生核、Berezin变换等工具，借助函数论和算子理论的知识，对Toeplitz算子的交换 性、有限秩扰动等性质进行研究。本项目的研究成果能够为复分析和算子理论中的一些重要问题的解决提供新的思想和方法。

Toeplitz算子理论不仅与数学各个分支有着紧密的联系，而且在量子物理、动力系统等方面有着广泛应用，使其成为算子理论中的热门研究方向。随着函数空间理论的发展，经典Bergman空间及其上的Toeplitz算子已经得到了深入研究。目前对 Bergman空间上的Toeplitz算子的研究主要集中在调和符号上，而对于以较一般函数为符号的Toeplitz算子的研究较少，与Toeplitz算子紧密联系的Hankel算子，对偶Toeplitz算子的研究也较少。本项目以Bergman空间上较一般函数为符号的Toeplitz算子以及相关算子为主要研究对象，并且将研究结果推广到调和Bergman空间和向量值Bergman空间上，研究工作进展情况如下：. 1、给出多变量函数空间中函数的拟齐次分解形式，给出该空间上Mellin变换和Mellin卷积的定义, 通过（P）性质的引入，结合Mellin变换、再生核、Berezin变换等工具，借助函数论和算子理论的知识，对Toeplitz算子的交换性、有限秩扰动等性质进行研究。在多圆盘调和Bergman空间上，给出以较一般函数为符号的Toeplitz算子的一些代数性质. 给出以分别径向函数和拟齐次函数为符号的两个Toeplitz算子的乘积为Toeplitz算子的充要条件，并且给出交换性，有限换位子等的一些描述。. 2、给出向量值Bergman空间上块Toeplitz算子，块对偶Toeplitz算子等相关算子的定义和矩阵表示，给出块Toeplitz算子，块对偶Toeplitz算子与标量值Bergman空间上的Toeplitz算子，Hankel算子以及对偶Toeplitz算子的联系，由于矩阵函数未必是可交换的，因此向量值Bergman空间上的算子的交换性更为复杂，也更具有一般性。借助再生核函数、Berezin变换，秩1算子以及经典Bergman空间上算子理论的已有结论，给出块对偶Toeplitz算子乘积，有限乘积，交换性，本性交换性的描述，并且得到块对偶Toeplitz算子为正规算子和本性正规算子的描述。