单位球Bergman 空间上Toeplitz算子和Hankel算子的有界性和Fredholm性质研究

Operator theory in function space has been the active research direction in functional analysis since its application in various areas. In this project, we will study three questions by mean value function of the unit ball, integral and norm estimates on the Bergman space, the orthogonal projection on the Bergman space, Balayage, Schur’s test and vector valued Hilbert-Schmidt test in vector valued function space. Use these tools and methods we will study: 1.the necessary and sufficient conditions for bounded and compact Toeplitz operators with locally integrable functions; 2.the bounded properties and compact properties of the Hankel operators and small Hankel operators with unbounded symbol on Bergman space of the unit ball; 3.characterize the compactness of Toeplitz operators with piecewise continuous matrix valued function and the necessary and sufficient condition for Fredholm operators and calculate the Fredholm index.

函数空间上的算子理论因为与函数论及复分析的天然联系以及广泛的应用一直是泛函分析中活跃的研究方向。本项目将利用单位球Bergman空间上的平均值函数，单位球的划分，Bergman空间上积分和范数的估计，Bergman正交投影的性质，Bergman空间上的Balayage，向量值函数空间上的Schur’s测试，向量值Hilbert- Schmidt测试等这些函数论的工具和方法研究以下问题：1.刻画单位球Bergman空间上以局部可积函数为符号的Toeplitz算子有界和紧的充分必要条件;2.研究单位球Bergman空间上以无界函数为符号函数的Hankel算子和小Hankel算子的有界性和紧性等;3.在单位球向量值Bergman空间，刻画以矩阵值分段连续函数为符号函数的Toeplitz算子的紧性以及是Fredholm算子的充分必要条件并计算其Fredholm指标。

算子理论与算子代数一直是泛函分析领域重要的研究内容，因为算子理论与函数论及复分析的联系以及广泛的应用一直是备受关注的研究方向。本项目利用Bergman空间上的平均值函数，Carleson测度的性质，Blaschkle积，Bergman空间上积分和范数的估计，Bergman正交投影的性质，Bergman空间上的Balayage，向量值函数空间上的Schur’s测试，向量值Hilbert- Schmidt测试等这些函数论的工具和方法研究了以下问题：1.研究了 Hankel算子的有界性、紧性，得到了小Hankel有界性与紧性的充分必要条件，得到了单位球Bergman空间上Balayage与BMO的关系; 2. 研究了Toeplitz算子的紧性，研究了Dirichlet空间上Libera算子，得到了Dirichlet空间上的Libera算子有界的充分必要条件，计算了Libera算子的点谱，并在一定条件下给出了Dirichlet空间上的Libera算子的范数; 3. 研究了以分段连续矩阵值为符号函数的Toeplitz算子，研究了有界函数生成的Dirichlet空间上的插值序列和理想，得到了判定序列为插值序列的充分必要条件; 4. 研究了一类特殊的单的C*-代数，这类C*-代数是迹逼近的C*-代数的推广，称之为局部迹逼近C*-代数。研究这类局部迹逼近C*-代数的遗传性，所谓的遗传性是指如果F是一类具有某种性质的C*-代数，经过这种局部的迹逼近之后得到的C*-代数是否也具有这样的性质。同时利用其遗传性，来研究有限群作用在C*-代数A上得到的交叉积C*-代数的性质。