n-调和Bergman空间上Toeplitz算子的代数性质

The theory of Toeplitz operators is not only closely related to function theory and many branches of mathematics, but also extensively used in quantum physics, power systems and so on, it has become an active research direction in functional analysis. With the development of the theory of function spaces and complex analysis, Toeplitz operators have been defined on different function spaces and have been studied deeply. The n-harmonic Bergman space is more general than harmonic Bergman space, if n=1, it is the familiar harmonic Bergman space, the theory on this space is not a generalization of the theory on the Bergman space. For example, if n>1, the Berezin transform on this space is no longer one-to-one. In this project, we will study Toeplitz operators on the n-harmonic Bergman space:.1, On the n-analytic Bergman space, applying function theory , space theory, the harmonic extension and so on, we will decribe some properties of Toepltiz operators, such as product, commutativity, compactness, etc ;.2, Applying Berezin transform, the reproducing kernel function and multi-Fourier series, the properties of Toeplitz operators and related operators on the n-harmonic Bergman space will be described, such as product, commutators, finite rank perturbations and so on.

Toeplitz算子理论因为与函数论及数学各个分支的紧密联系以及在量子物理、动力系统等方面的广泛应用成为泛函分析领域中的活跃研究方向。伴随着函数空间理论和复分析理论的发展，Toeplitz算子已被定义在各种函数空间上，并得到了深入研究。n-调和Bergman空间是较调和Bergman空间更一般的一类函数空间（n=1时，即为调和Bergman空间），该空间上的理论不是已有结论的一般推广，例如：当n> 1时，这个空间上的Berezin变换不再是一一对应的。本项目主要对该空间上Toeplitz算子展开研究： 1、在n-解析Bergman空间上，运用函数论、空间理论、调和扩张等方法刻画Toeplitz算子的乘积、交换性、紧性等问题；2、运用Berezin变换、再生核、多重Fourier级数等对n-调和Bergman空间上Toeplitz算子及相关算子的乘积、换位子、有限秩扰动等给出描述。

对于无穷维线性空间、积分方程等问题的研究使得算子理论得到了初步的发展，而算子理论在量子物理、量子力学、控制论、最优化理论、概率论等许多学科中都有着广泛的应用。特别是，算子理论在量子力学研究中的重要作用，奠定了它在数学领域的基础地位，使其成为数学研究领域的主流方向之一。Toeplitz算子理论因为与函数论及数学各个分支的紧密联系,以及在量子物理、动力系统等方面的广泛应用成为泛函分析领域中的活跃研究方向。伴随着函数空间理论和复分析理论的发展，Toeplitz算子已被定义在各种函数空间上，并得到了深入研究。n-调和Bergman空间是较调和Bergman空间更一般的一类函数空间（n=1时，即为调和Bergman空间），该空间上的理论不是已有结论的一般推广，例如：当n>1时，这个空间上的Berezin变换不再是一一对应的。本项目利用将n-调和Bergman空间分解成可数个子空间的直和的形式，并构造一类算子给出子空间的联系，借助函数论，空间理论等方面的知识，给出每个子空间的一组正规正交基，进而可以给出全空间的一组正规正交基。根据经典Toeplitz算子的定义方式，给出该空间上类似算子的定义，进而在该基础上研究Toeplitz算子以及相关算子的代数性质，包括的乘积问题，有限秩，紧性等相关问题，项目执行期内我们给出了带有调和符号Toeplitz算子的交换性的刻画，给出换位子和半换位子为有限秩的刻画，构造出秩为N(N>1)的换位子和半换位子，并讨论 为奇数、偶数， 的倍数等不同情况下算子的存在性；研究单位球Bergman空间上对偶Toeplitz算子的一些代数性质，并将部分成果整理出来。我们也对符号函数更一般的Toeplitz算子的代数性质进行了初步的研究，包括以拟齐次函数、n-调和函数等为符号函数的Toeplitz算子的乘积、交换性等性质,并利用Berezin变换、函数论及空间理论，给出Toeplitz算子的紧性、斜Toeplitz算子亚正规性，Hankel算子紧性等性质的刻画。本项目的研究成果能够为复分析和算子理论中的一些重要问题的解决提供新的思想和方法。