函数空间上Toeplitz算子及斜Toeplitz算子的代数性质

The theory of Toeplitz operator and the theory of slant Toeplitz operator in function spaces have become the hot problems for discussion in the field of operator theory, by reason that it is closely related with the development of their own theory and have many important applications in control theory、 quantum mechanics 、wavelet analysis and so on. With the development of the theory of function space, Toeplitz operator and slant Toeplitz operator have been generalized to different function spaces and have been studied deeply . Our object mainly study the algebraic problems of Toeplitz operators and slant Toeplitz operators : 1、applying the space theory and function theory we fully describe the properties of Toeplitz operators on the Bergman space of the unit disk that (essentially) commute with Toeplitz operators with harmonic symbols；2、applying the multi-fourier series、Mellin transforms and function theory we fully describe the properties of Toeplitz operators that commute with Toeplitz operators in several variables with pluriharmonic symbols；3、the properties of slant Toeplitz operators on the Lebesuge spaces and Bergman spaces, such as the commutativity、the essential commutativity 、spectrum and so on，will be fully described by applying Berezin transform 、 function theory and so on.

函数空间上的Toeplitz算子理论及斜Toeplitz算子理论因为与数学自身理论发展的紧密联系及在控制理论、量子力学、小波分析等方面的广泛应用而成为算子理论的热门研究方向。随着函数空间理论的发展， Toeplitz算子及斜Toeplitz算子已被推广到各种函数空间上并得到了深入的研究。本项目主要对Toeplitz算子及斜Toeplitz算子的代数问题展开研究：1、运用空间理论和函数论充分刻画单位圆盘的Bergman空间上与带有调和符号的Toeplitz算子(本性)可交换的Toeplitz算子的性质；2、运用多重Fourier级数、Mellin变换和函数论对与带有多重调和符号的多变量Toeplitz算子可交换的Toeplitz算子的性质给出充分描述；3、运用Berezin变换和函数论等理论对勒贝格空间及Bergman空间上的斜Toeplitz算子的交换性、本性交换性、谱等性质给予充分刻画。

Toeplitz 算子及斜Toeplitz 算子是函数空间上两类重要的算子。由于与数学自身理论发展的紧密联系及在控制理论、量子力学、小波分析等方面的广泛应用，这两类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注。随着函数空间理论的发展，人们对这两类算子进行了深入的研究，取得了大量重要的成果。但到目前为止，对这两类算子还有许多重要的问题没有得到解决。本项目主要对Toeplitz算子及斜Toeplitz算子的交换性、乘积等代数问题展开了研究，研究工作的进展情况如下：. 1、利用函数论及算子理论研究了单位圆周的勒贝格空间上斜Toeplitz算子的性质, 得到了两个带有解析符号、共轭解析符号或调和多项式符号的k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件及其乘积为零的充要条件；此外，给出了两个不同阶的斜Toeplitz算子（本性）可交换的充要条件以及其乘积紧的充要条件，特别地，给出了两个不同阶的斜Toeplitz算子的交换性和本性交换性是一致的。. 2、利用函数论研究了单位圆盘的Bergman空间上斜Toeplitz算子的性质，得到了两个带有特殊符号(解析符号、共轭解析符号或调和多项式符号)的k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件。. 3、利用函数论、空间理论及Mellin变换等理论研究了单位圆盘（多圆盘）的Bergman空间上与带有调和符号（多重调和符号）的Toeplitz算子可交换的Toeplitz算子的性质。 由于对径向函数及Mellin变换缺少更深入的了解，目前仅给出了以特殊函数为符号的Toeplitz算子的刻画。今后我们将继续进行该方面的研究，并将所得研究成果标注为受到该项目的资助。