随机哈密顿系统的KAM保持性与有效稳定性

本项目主要研究随机哈密顿系统的KAM保持性与有效稳定性。随机哈密顿系统动力学稳定性是近年来动力系统领域高度关注的研究课题之一，在这方面，一个具有基本科学意义的问题是：可积哈密顿系统在小的随机摄动下，它的动力学稳定机制如何演化，可积性是完全被破坏，还是在许多的情形和相对大的时间尺度保持下来，或是， 对于凸哈密顿系统，它的所有轨道还能像在确定情形那样，在指数长的时间尺度之内，稳定性没有明显变化？迄今为止，人们对这类问题仍然知之甚少。前者是说在确定哈密顿系统中的经典KAM理论在随机哈密顿系统中是否有类似的结论；后者是说，确定情形的Nekhoroshev有效稳定性在随机情形下是否仍然成立。诚然，在随机哈密顿系统中，由于连续时间的随机共振的存在，所研究问题已经不像离散随机动力系统，有时间空隙，可以有效避开本质共振，因此问题的研究会变得相当复杂。我们旨在建立随机哈密顿系统的KAM保持性和有效稳定性。

随机现象是自然界一种最基本和普遍的现象。 自上世纪四十年代日本数学家Ito建立Ito微积分起，人们发展了各种数学理论与工具来分析和认识各种各样的随机现象。而动力系统自Poincare研究三-体问题的周期解以来已经成为一个重要并具有强大生命力的现代数学分支，特别是哈密顿系统的研究, 由于其在力学和物理中的广泛存在， 一直以来受到人们的广泛关注。著名的KAM理论描述了非共振情形可积哈密顿系统的稳定性机制有多少能在小摄动下保持下来的问题，该问题被Poincare称之为“动力学基本问题”，而我们之前研究了在共振情形哈密顿系统的动力学稳定性。在本项目中我们旨在研究随机动力系统领域特别是随机哈密顿系统的解的动力学性质。在项目运行期间，我们研究了随机动力学方程以及随机动力系统领域的一些相关问题, 如作为随机无穷维动力系统的典型例子的随机Kuramoto-Sivashinsky方程的零可控性, 随机微分方程、随机泛函微分方程以及随机时滞微分方程的依分布周期解的存在性, 分数阶随机微分方程与平均场随机微分方程的几乎自守解的存在性。 此外，我们还研究了经典微分方程与动力系统理论中若干问题, 如一维Schrodinger方程在Sturm-Liouville边值条件下的局部精确可控性, 多尺度哈密顿系统的不变环面的保持性,以及若干动力学方程仿射周期解理论（包括周期解, 调和解以及拟周期解）。特别地， 我们研究了连续时间下一阶常微分系统、二阶奇异与非奇异耗散动力学系统、时标系统、离散系统等动力学系统的仿射周期解的存在性理论。项目所得到研究成果目前部分已被接受或发表在《 SIAM J. Control Optim. 》,《Discrete Contin. Dyn. Syst.-A》,《Adv. Nonlinear Stu.》,《J. Math. Phys. 》,《Rocky Mountain J. Math.》等国际著名期刊杂志上。