哈密顿动力系统的KAM理论和长时间稳定性

Many models in mathematics,mechanics, physics and so on are governed by Hamiltonian systems. Those models include such as the vibration of a spring without friction, the spread of light in optical fiber and the diffusion of shallow water wave. The study of both finite and infinite dimensional Hamiltonian systems have seen a great progress in recent decades. However, there are still many basic problems to remain unsolved, for example, the Herman conjecture. In the research plan, we will study the following problems: (a) The existence of invariant tori for a linear Hamiltonian of Diophantine frequencies subject to an analytic perturbation;(b) The instability for reversible system;(c) The KAM theory for Hamiltonian partial differential equations of a zero-frequency and of the frequencies which cluster at zero point;(d) The long time stability for the invariant tori of Hamiltonian partial differential equations with unbounded perturbations.

在数学、力学和物理等学科中，很多模型都是用Hamilton动力系统来描述的。例如，无摩擦的弹簧的振动，地球、太阳和月球构成的三体系统，光在光纤中传播，以及浅水波的传播等等。无论是有限维的还是无穷维的哈密顿动力系统的研究在最近几十年取得了长足的进展，但还留下一些尚未解决的基本问题，例如Herman猜测。我们将研究：具有丢番图频率的线性哈密顿系统在解析的哈密顿扰动下的具有正测度的不变环面族的存在性；反转系统的不稳定性；具有零法向频率的以及具有法向频率以零为聚点的哈密顿偏微分方程的KAM理论；具有无界扰动的哈密顿偏微分方程的不变环面的长时间稳定性。

很多物理模型都是由非线性偏微分方程描述的。我们的这个项目主要使用哈密顿动力系统的KAM理论来研究一些著名的偏微分方程（如薛定谔方程、浅水波方程）的拟周期运动及其稳定性；由于KAM理论的基本思想是通过牛顿迭代解线性化方程来构造非线性方程的拟周期解，为了求线性方程 对应的含有小除数的线性算子的逆，研究拟周期线性算子的谱就变得很重要。我们的研究分两部分：（一）研究非线性偏微分方程的拟周期解的存在性和稳定性。（1）给出了法向频率之一等于零的非线性薛定谔方程的拟周期解的存在性和不存在性的判定条件；（2）创建了法向频率有有限聚点的KAM理论，并与来证明一大类浅水波方程的拟周期解的存在性和线性稳定行；（3）研究了有脉冲的弹簧振子的拉格朗日稳定性。(二）研究了若干类型的拟周期的离散薛定谔算子的谱性质以及Anderson 局域化。