图与超图的谱Turán型问题

Spectral extremal graph theory is a new branch that combines classical extremal graph theory and spectral graph theory, which is an important part of extremal graph theory and is a vital mathematical tool and method for investigating the topological structure of graphs. The project focus on Turán type spectral extremal problems that is the core of spectral extremal graph theory. The main purpose of this project is to study the extremal values and the corresponding extremal graphs (hypergraphs) which do not contain a graph (hypergraph) or a class of graphs (hypergraphs) using the spectral parameters (including adjacency spectrum, Laplacian spectrum, signless Laplacian spectrum, H-eignenvalues etc), to study the spectral stability problems, and to establish the relationship between the eigenvalues, the eigenvectors of graphs (hypergraphs) and the topological structure of graphs (hypergraphs). Research methods include graph theory, matrix theory, spectral graph theory, extremal theory, tensor theory, etc. The expected results will enrich the contents of extremal graph theory, enhance the results of classical extremal graph theory and extend spectral graph theory.

图的谱极值理论是经典极值图论和谱图理论相互交叉形成的一门新学科分支，它是极值图论的重要组成部分和研究图的拓扑结构的重要的数学方法和工具。本项目着重研究谱极值理论中的核心问题——谱Turán型问题。主要围绕含有禁入子图（图类）的图（超图）类的各种谱参数（邻接谱、拉普拉斯谱、无符号拉普拉斯谱、H-特征值等）的极值问题、极值图的刻画以及谱稳定性问题开展深入细致的研究，建立图与超图的特征值、特征向量与其拓扑结构之间的内在关联。研究方法涉及图论、矩阵理论、图谱理论、极值理论、张量理论等相关领域。预期研究成果将发展和完善极值图论的研究领域，一方面丰富和加深经典极值图论的研究成果，另一方面拓展图谱理论的广度和深度。

图与超图的谱极值理论是极值图论的一个重要和非常活跃的一个研究课题。本课题主要研究图与超图的谱极值问题，并且刻画极值图的拓扑结构。取得的研究成果包括：1. 研究超图的拉普拉斯谱的极值问题、H-特征值的极值问题，利用矩阵、图谱理论和代数的思想给出了关于张量的等价划分定理，并推广给出了超图的等价划分定理。这个结果将在图的谱极值理论中有广泛应用的等价划分定理推广到了张量和超图的谱理论中。2. 利用图的不变量与图的结构之间的密切关系，研究图的不变量Wiener指数、Steiner Wiener指数等图的不变量的极值问题，进而探讨图的极值拓扑结构。3. 针对图的不变量的逆问题进行了研究，完善了关于Steiner Wiener指数逆问题的解的研究。在三年期间一共在国内外期刊发表接收了11篇论文，其中9篇为SCI论文。这些论文已经得到了国内外同行的关注。共参加了7次国际会议和8次国内会议，并在5次会议上作分组报告。作为访问学者访问美国佐治亚南方大学6个月，邀请多位国内外专家来校访问。本项目的研究成果将能有助于我们理解各种图和网络的拓扑结构和性质，丰富和发展图谱理论的研究方法和研究内容，推广和加深经典极值图论的研究成果，建立经典极值图论和谱极值理论的内在关联，拓宽图的谱极值理论的研究思路。