几类特殊的复微分、差分方程的研究

Brück's conjecture proposed at the end of last century is a very important problem with regard to complex differential equation in distribution theory; In recent years, the distribution theory of difference operator has been established preliminarily, and difference equation also has become a new and hot topic now. Nevanlinna and Wiman-Valiron theory are both the very important method and development trend to study such special differential and difference equations. There have been a lot of research work in this respect and some problems has been answered indeed, but there are still many problems need to be explored further or to be solved completely. In this project, we plan to use Nevanlinna, Wiman-Valiron and other tools to research some special differential and difference equations including the differential and difference forms of Brück's conjecture, the difference forms of Haman's inequality and so on. Research on such special differential and difference equations, not only has important theoretical significance to itself, but also may provide some meaningful ideas to study other general differential and difference equations.

Brück猜想是上世纪末提出的值分布理论中非常重要的一个微分方程问题；近些年来，随着差分值分布理论的初步建立，差分方程理论研究已经成为了一个新的热点问题。Nevanlinna、Wiman-Valiron理论是解决微分、差分方程问题的重要方法和发展趋势，已经取得了大量的成果，并且解决了其中许多问题，但仍有很多问题有待进一步探索解决。 在本项目中，我们拟采用Nevanlinna、Wiman-Valiron等理论工具，去研究一些特殊的微分、差分方程，包括Brück猜想的微分、差分形式以及哈曼不等式的差分形式等方面内容。探索揭示这些特殊的微分、差分方程规律本身就有着重要的科学意义，还可为其它一般的微分、差分方程研究提供一些有意义的思路。

Brück猜想是上世纪末提出的值分布理论中非常重要的一个微分方程问题；近些年来，随着差分值分布理论的建立，差分方程理论研究已经成为了一个新的热点问题。在本项目中，我们采用Nevanlinna、Wiman-Valiron等理论工具，去研究了一些特殊的微分、差分方程，包括Brück猜想，Malmquist型方程等。具体地，我们讨论了一种特殊的微分和差分方程，证明了在某种亏量条件下它的整函数解是完全确定的，也考虑了更复杂的整函数组和它们高次差分算子在这种亏量条件下的分担值问题，找出了这两个函数之间的互相表达关系。我们也研究了一些特殊的Malmquist型差分方程，即函数本身和它的差分算子平方和是小函数情形，关于函数和它一阶导数平方和是小函数的非线性微分方程存在亚纯函数解的一个经典的必要条件，我们在某种程度上讨论了类似的差分情形。最后我们也考虑了整函数和它高次差分分担小函数情形，证明了在一些特殊条件下函数的退化形式。