基于概率测度扰动分析的锥约束分布鲁棒优化的渐近分析

Cone constrained distributionally robust optimization is a new type of distributionally robust optimization model, whose distribution set is described by cone constrained moments condition. This model has important theoretical and practical significance，for example, in finance、logistics and power industry etc, many theoretical issues and practical models which have great research value can be reformulated as cone constrained distributionally robust optimization. The international research on cone constrained distributionally robust optimization mainly focus on models construction and transformation, to study its asymptotic behavior is still at the exploratory stage. Therefore, it is of great significance in the theory and application to systematically study the quantitative asymptotic behavior of this class of optimization problems. Based on the theory of conic programming and perturbation analysis of probability measures, combined with the total variation metric and integration deviation, this project focuses on systematical and thorough study of quantitative asymptotic analysis of cone constrained distributionally robust optimization. The study includes establishing error bounds for cone constrained probability measure set based on total variation metric; establishing quantitative asymptotic theory of optimal value function、optimal solution mapping and stationary point set-valued mapping of polyhedron cone、semidefinite cone and complementarity cone constrained distributionally robust optimization respectively on perturbation parameter. The theory which will be established have more practical value than qualitative asymptotic analysis, can be applied in practical problems such as data-driven optimization and stochastic transportation networks etc, and promote the progress of theory and application of distributionally robust optimization problems.

锥约束分布鲁棒优化是一类新型的分布鲁棒优化模型，其分布集由带有锥约束的矩条件描述。这类模型具有重大的理论和应用价值，如在金融、物流和电力等行业中，很多有重大研究价值的理论问题和实际模型都是锥约束分布鲁棒优化问题。国际上对分布鲁棒优化问题的理论研究主要集中在模型构建和转化方面，对其渐近性的研究正处于初步阶段，因此系统地研究这类优化的渐近性，其理论和应用意义重大。本项目旨在以锥规划和概率测度的扰动分析为基础，结合全变分度量和积分偏差，对锥约束分布鲁棒优化的定量的渐近性进行系统深入地研究。研究内容包括建立锥约束分布集基于全变分度量的误差界；分别建立多面体锥、半定矩阵锥和互补锥约束分布鲁棒优化的最优值函数、最优解映射、稳定点集值映射关于扰动参数的定量的渐近性理论。将要建立的理论与定性的渐近分析相比较更具应用价值，可用到数据驱动的优化问题和随机交通网络等实际问题中，推进分布鲁棒优化理论和应用的进展。

本项目主要建立了锥约束分布鲁棒优化问题的渐近分析并对相关的一阶段随机规划及随机变分不等式的稳定性进行了探讨。首先利用全变分度量和矩问题的对偶理论，建立了锥约束的分布集的 Hoffman 型误差界。这个误差界是建立锥约束分布鲁棒优化问题渐近分析理论的前提条件且为经典Hoffman引理的推广；然后利用分布集基于全变分度量的误差界来研究其内问题最优值函数和最优解集值映射关于扰动参数的定量的渐近相容性；其次通过把内问题的最优值函数当成整个分布鲁棒优化目标函数的方式，研究整个锥约束分布鲁棒优化的最优值函数和最优解集值映射关于扰动的定量的渐近相容性。这里的定量的渐近相容性指的是最优值函数或最优解集值映射关于参数扰动的偏离或度量可以用参数偏离的线性化界的形式表示，这样的渐近分析基于我们推导的确定型锥规划的稳定性分析；另外，鉴于锥约束分布鲁棒优化问题的内问题是一个一阶段随机规划问题以及其稳定点为随机广义方程或随机变分不等式的形式，我们也对一阶段随机锥规划和随机变分不等式的渐近性和确定性锥规划问题的稳定性进行了研究，所包含的锥既涉及到多面体锥、二阶锥、半定矩阵锥等凸锥，也包含了一些特殊的非凸锥，得到的结论扩展了现有的理论结果；最后对求解锥约束分布鲁棒优化相关问题的算法进行了探讨并把建立的定量的渐近分析应用到金融中的投资组合问题，带有具体矩约束的鲁棒优化问题及统计学中的最小迹因子分析中，验证了相关的渐近分析结果或得到了相关解的置信区域。