超图的拉格朗日密度及其在Turán问题上的应用

Turán type problems are central to the development of extremal combinatorics. There are very few known results about the Turán number of a hypergraph. Lagrangian method has been an important tool in Turán type problems. Lagrangian density is closely related to Turán dnesity. Exploring the Lagrangian density of a hypergraph itself is an interesting and challenging question. Indeed, to answer a long standing question of Turán on the Turán number of the Tetrahedron is equivalent to determine the Lagrangian density of the Tetrahedron. The goal of this project is to solve some Turán numbers of hypergraphs. Combining hypergraph structural analysis, left-compressed technique, hypergraph link, and local Lagangian method, we study the Lagangian densities of r-uniform hypergraphs. Using the stability method, we intend to solve some Turán numbers of r-uniform hypergraphs. Launching of the project will enrich the research content and method of Turán type problem, further improve the domestic communication and development of Turán type problem.

Turán型问题是极值组合中的重要问题之一。拉格朗日方法是解决超图Turán问题的重要工具。2013年，Hefetz和Keevash提出了确定一般超图的拉格朗日密度问题。任何一个r一致超图的拉格朗日密度对应了另一个r一致超图(扩张)的Turán密度。例如，求四面体的Turán密度等价于求其拉格朗日密度。然而，不论是Turán问题，还是拉格朗日密度问题，目前已知的结果都非常少。本项目以求超图的拉格朗日密度和Turán数为目标，通过结构分析、左压缩操作和超图邻域等方法，研究r一致超图的拉格朗日密度，再结合稳定性方法研究相应超图的Turán数和极值结构。项目的开展将有利于丰富Turán型问题的研究内容和方法，进一步促进Turán型问题在国内的传播和发展。

Turan型问题是极值组合中的重要问题之一，然而超图的拉格朗日工具是解决该问题的重要方法。因此，探索超图的拉格朗日密度有助于研究超图的Turan问题。近几年，超图的拉格朗日密度问题受到了一定的关注。Sidorenko了超图的Turan密度与拉格朗日密度之间的一个联系。事实上，一个超图的拉格朗日密度等于其扩张的Turan密度。..在本研究项目中，我们得到了一系列超图的拉格朗日密度及其扩张的Turan密度。主要结果列举如下：..1. Baber和Talbot提出是否存在单个超图使得其Turan密度为无理数。我们证明了大小为3的4-均匀匹配的拉格朗日密度是一个无理数，这导出了单个超图的无理数图兰密度。因此，我们的结果回答了Baber和Talbot的问题；..2. 我们还确定了一类n个顶点、边数为O(n^2)的r-一致超图的拉格朗日密度。注意到，据我们所知，对于每个已知的拉格朗日密度超图F, F中的边数小于其顶点数。..3.我们得到了长度为3、4的3-一致线性路径或长度为2、3的线性路径的不相交并与任意大小的匹配的拉格朗日密度，以及扩展的Turan数，并证明了极值3-一致超图的唯一性。..4. t相交的r-一致超图的最大拉格朗日是多少? 当t = 1时，答案是完整的;其中r = 3的情况由Hefetz和Keevash在2012年确定，其余r≥4的情况由Bene Watts, Norin和Yepremyan在2018年确定。我们确定了t=r-2, r-1，和r={3,4,5,6}的情况。