复域差分, 差分方程和微分方程的研究

近几年来，复域差分，差分方程理论，随亚纯函数Nevanlinna理论的渗透，成为一个热门的新方向。差分方程在物理, 量子力学, 工程, 经济等学科有着重要的应用.它产生许多特殊函数, 它是实域差分向复域的必然发展，也是不连续的离散方程向新的解析的差分方程的必然发展。本项目将在上一项目成果的基础上, 进一步研究复域差分的解析性质及亚纯函数与它们的差分的公共值问题; 研究Painleve, Riccati等非线性差分方程与线性差分方程的性质; 研究q-差分及q-差分方程解的解析性质; 还将研究与差分方程有密切关联的微分方程的性质。在前期工作中，我们已得到一些关于差分的解析性质以及非线性, 线性差分方程, 微分方程的研究成果, 较全面解决了Gundersen等提出的关于周期方程的次正规解问题。本项目将深化, 拓展复域差分，差分方程及微分方程的研究。

我们对差分Riccati方程作了比较系统的研究: (1)Ishizaki对一特殊差分Riccati方程, 证明了它的超越解的级大于等于1/2, 我们改进了Ishizaki这一结果, 对最一般的差分Riccati方程, 证明了它的超越解的级大于等于1.(2) Ishizaki对一特殊差分Riccati方程, 得到它的带一个参变量的解族的表示,但该参变量在表示式中出现4次, 我们改进了Ishizaki的结果, 对最一般的差分Riccati方程,不但得到它的带一个参变量的解族的表示,且参变量在表示式中仅出现1次, 这样可导出方程解的更多性质.从而大大推广了Ishizaki的结果. . 对一阶线性差分方程, 得到其亚纯解的差分, 位移的不动点收敛指数, 及高阶差分的零点收敛指数. 由这个结果得到 Gamma函数及 Gamma函数的差分, 位移的不动点收敛指数, 还得Gamma函数的高阶差分的零点性质, 即Gamma函数的n阶差分有且仅有n个零点; Gamma函数, 它的差分及位移的不动点收敛指数都等于1; Gamma函数的倒函数的n阶差分的零点收敛指数等于1, Gamma函数的倒函数的n阶差分与Gamma函数的倒函数具有同样的零点, 最多n 个例外.. 对复域差分, 我们知道亚纯函数的特征函数与它的n阶差分的特征函数之间仅存在一些粗糙的关系. 在某些条件下, 我们得到了亚纯函数与它的n阶差分的特征函数之间的一些精确关系. 这些关系对研究差分方程有重要作用.我们还得到了亚纯函数与它的位移, 差分之间的不动点的收敛指数之间的精确关系.. 进一步研究周期微分方程解的性质,并结合函数空间来研究线性微分方程解的性质.. 培养了一批博士, 硕士研究生和青年教师从事本方向研究. 在这4年中, 有5位博士研究生毕业, 并获博士学位; 有15位硕士研究生毕业, 并获硕士学位. 以前毕业, 现在广州工作的青年教师都来参加我们的学术讨论班.