一类不可微分布鲁棒最优控制问题的研究

The research about application of biotechnology to produce biomass energy and bio-based bulk chemicals is internationally one of the hot topics. Fermentation dynamics is a quantitative description of microbial growth and product formation in science. It relates to biology, mathematics, chemistry, physics, engineering, operational research, control theory, computer science, etc. Due to certain mechanisms are not clear in microbial fermentation, cell material testing difficult and randomly, so that quantitative models with uncertain parameters are needed to established to describe the fermentation process. In fact, we may only know the mathematical expectation, variance of the stochastic parameters are in some certain collection of the possible distributions. The project will study the distributionally robust optimal control problems constrained by nonlinear dynamical systems with random parameters. The cost function in this problem is a mathematical expectation with respect to the function of stochastic parameters, the dynamic system with stochastic parameters and the collection of possible distribution functions are as the main constraints. The distribution functions and control variables are taken as optimal variables to optimize the distributionally robust control problem. Maximum principle, linear programming, stochastic programming will be applied to study the main properties, parallel algorithms and convergence of this kind of problems with uncertain parameter. This study will contribute to operational research, control theory and biochemical engineering in either theory or applications aspects, can also provide the reference for the design of biological ferment experimental program.

应用生物技术生产生物质能源与生物基大宗化学品的研究是国际热点课题之一。而发酵动力学是定量描述微生物生长与产物形成过程的科学。它涉及生物、数学、化学、物理、工程学、运筹学、控制论、计算机科学等。由于微生物发酵中存在某些机理不清、细胞内物质测试困难及随机扰动等，使定量描述发酵过程的模型含不确定参数。往往只知道不确定参数的数学期望、方差及随机参量可能分布函数的集合。本项目将针对具有随机信息的非线性动力系统的控制与辨识问题进行研究。该类问题是以数学期望为性能指标，以非线性随机动力系统及分布函数集为主要约束，以分布函数与控制变量为优化变量的分布鲁棒控制优化。将应用非线性规划、随机规划及最大值原理等研究具有不确定参数的非线性随机动力系统的主要性质、此类分布鲁棒控制优化的最优性条件、并行算法及收敛性。该项研究有助于运筹学、控制论、生物化工等学科优化理论与应用研究，还可为生物发酵实验方案定量设计提供参考。

我们研究的分布鲁棒最优控制问题是无限维、不可微、随机最优控制问题。对实际问题而言，一方面我们很难准确地知道参数服从什么样的分布；另一方面，如果仍然只是考虑鲁棒最优控制，其解往往过于保守，相当于只是求出了最差情形下的某种最优的结果。从研究历史来看，鲁棒控制为鲁棒优化的发展提供了很多借鉴，而本项目充分考虑鲁棒控制的解本身过于保守的缺点，在随机最优控制和鲁棒最优控制两者之间找到一个合适的平衡点来兼顾二者的优点。本项目是实际问题驱动的应用数学的研究，与分布鲁棒优化关系紧密。既然鲁棒优化的思想是源自于控制理论中的鲁棒控制，那么这种分布鲁棒优化的思想能否反过来应用到最优控制理论中去，得到一些有意义的结果，是本项目研究的初衷。从控制理论的角度看这是一个全新的领域并有着区别以往的显著特点。最后，我们要求的最优解不仅仅是最优控制u*，实际上还包括有“最差的”分布F*。本项目所研究的分布鲁棒最优控制与通常的极大极小最优控制和随机最优控制也都有着明显的区别。本项目中所谓的“极大”是在随机意义下对满足一定条件的所有的分布取极大。目前已有的考虑参数不确定性的最优控制问题还很少有从本项目这个角度为出发点进行研究的。本项目从理论分析和应用计算两个方面都进行了深入的研究，取得了预期的研究成果。并将理论结果成功应用到一类微生物发酵过程的最优控制问题中，也得到了较好的数值结果。