分数阶微分方程解的研究

The main objective of this project is to study two classes of nonlinear fractional differential equations, combined with the theory of fractional calculus, so as to improve and develop the research in boundary value problems of fractional differential equation. On one hand, to research the fractional differential equations with coupled boundary conditions, on the other hand, to consider the fractional differential equation with integral boundary conditions on an infinite interval. By using the nonlinear functional analysis methods, such as the fixed point theory, topological degree and monotone iterative, we not only obtain the existence, nonexistence, uniqueness and multiplicity solutions of equations, but also receive the influence of parameters in equaitons on the existence and nonexistence for solutions, at the same time, get the specific example analysis by using Matlab tools.

本项目主要结合分数阶微积分理论，研究两类非线性分数阶微分方程，从而完善和发展分数阶微分方程边值问题的研究。一方面，研究带有耦合边值条件的分数阶微分方程组，另一方面，研究无穷区间上带有积分边值条件的分数阶微分方程。应用不动点理论，拓扑度方法，单调迭代技巧等非线性泛函分析方法，不仅获得方程解的存在性、非存在性、唯一性、多重性，而且得到方程中参数对解的存在性和非存在性的影响，同时利用Matlab工具，得到具体的实例分析。

本项目主要结合微积分理论，应用非线性泛函分析方法，研究非线性微分方程。主要研究成果包括：（1）应用Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Banach压缩原理，得到了Caputo分数阶积微分方程积分边值问题的唯一解；（2）基于Guo-Krasnosel’skii不动点定理，研究了含有广义p-Laplacian算子的Riemann-Liouville分数阶微分方程组Riemann-Stieltjes积分边值问题，获得了方程组解的存在性与非存在性，以及参数对方程组解的影响；此外，还研究了其它与本项目相关的内容：应用不动点理论，获得了含参数二阶微分方程周期边值问题解的存在性；利用单调迭代方法，讨论了无穷区间上p-Laplacian积微分方程边值问题的极值解和解的迭代序列。目前，本项目共发表论文4篇，其中被SCI检索3篇，本项目对于完善和发展非线性微分方程边值问题的研究有着重要意义。