分数阶脉冲微分方程研究

Fractional derivatives provide an excellent tool for the description of memory properties and hereditary processes. As for problem of memory properties and hereditary processes mingles with impulse phenomena, it can be described by fractional order impulsive differential equations. Numerous applications can be found in viscoelasticity, electrochemistry, control, electromagnetic, and so forth..We will use novel methods to overcome some possible difficulties from fractional order derivative and impulsive perturbation. Firstly, we investigate and give a suitable defintion for piecewise continuous solutions of impulsive differential equations invovling Caupto/Hadamard fractional order derivative and we will discuss boundary value problems for fractional order impulsive Langevin equations and periodic boundary value problems for fractional evolution equations; Next, we will introduce local stability, asymptotically periodic solutions, Ulam stability and stabilizability and pay attention on sufficient conditions of local stability of the solutions, asymptotically periodic solutions, Ulam stability and stabilizability. .The research results will not only provide a theoretical foundation for analysising on the movement law of charged particle in the double potential wells and fluctuating mangnetic field with impulsive but also provide fundamental base for the further research on controllabilty and optimal controls for fractional order impulsive controlled system.

分数阶导数为描述记忆性质和遗传过程提供了有力工具，分数阶脉冲微分方程适于描述脉冲现象与具有记忆性质过程和遗传过程相互交织影响的实际问题，广泛应用于粘弹性、电化学、控制、电磁学等领域。.我们将创新方法克服分数阶导数和脉冲扰动带来的本质困难，首先通过研究给出Caupto/Hadamard分数导数所决定的脉冲微分方程与脉冲发展方程片段连续解的合理定义，进而讨论分数阶脉冲Langevin方程边值问题和分数阶脉冲发展方程周期边值问题；之后引进局部稳定性、渐近周期解、Ulam稳定性和可稳化新概念，重点讨论解的存在性和局部稳定性、渐近周期解、Ulam稳定性和可稳化的充分条件。.本项目研究结果将为分析脉冲效应下双势阱和变化的磁场中带电粒子运动规律提供理论依据，也为讨论分数阶脉冲受控系统可控性和最优控制打下理论基础。

分数阶导数为描述记忆性质和遗传过程提供了有力工具，分数阶脉冲微分方程适于描述脉冲现象与具有记忆性质过程和遗传过程相互交织影响的实际问题，广泛应用于粘弹性、电化学、控制、电磁学等领域。.第一，研究了含有Caputo /Hadamard/Hilfer导数分数阶微分方程解的存在性、稳定性及部分受控系统的控制问题。重点研究初值问题、非局部问题和周期边值问题，综合运用不同的理论知识讨论并得到了解的存在性和稳定性，周期解的不存在性和渐近周期解的存在性。进一步，讨论某些分数阶发展方程所决定受控系统的可控性。另外，在系统分析基础上，深入研究了半线性分数阶微分包含解的存在性及其可控性。.第二，创造性地研究了带有脉冲条件的弱Caputo导数/Hadamard分数微分（发展）方程初值问题，以及部分脉冲发展受控系统的松弛最优控制，给出了合适的研究框架体系，引进了恰当的片段连续温和解定义，得到能够充分反映分数阶导数的整体记忆性质的片段连续解的积分形式，为推动分数阶脉冲微分方程后续研究解决了最为关键的问题,包括撰写重要专著《Theory and applications of fractional differential equations》的知名学者之一，西班牙拉古纳大学Trujillo教授，中国安徽大学蒋威教授等国内外知名学者均在我们研究工作基础上继续开展后续研究工作。.第三，针对分数阶微分方程稳定性，将代数学中Ulam稳定性概念引进到分数阶微分方程，创立了分数阶微分方程稳定性理论研究的新分支。首次提出分数阶常微分（发展）方程以及脉冲分数阶微分方程不同类型 Ulam 型稳定性概念，重点讨论 Ulam-Hyers型稳定性和Ulam-Hyers-Rassias 型稳定性，引起了国内外同行专家的重视。.第四，建立了适用于描述在双势阱和变化的磁场中受若干个简单冲量函数循环作用的运动带电粒子的动力学模型（分数阶脉冲Langevin方程），并对模型进行定性理论分析，这些研究结果为分析脉冲效应下双势阱和变化的磁场中带电粒子运动规律奠定必要的理论依据。.最后，系统地建立了含有Riemann-Liouville 和Hadamard 分数积分一阶和二阶积分等式，综合运用不同的技巧，获得若干分数积分Hermite-Hadamard 不等式新结果，为某些可积函数积分估计提供了有效方法。