几类非线性浅水波方程的研究

The purpose of this project is to study three model equations arising from shallow water wave theory. The first one is the modified b-family equation，another model is the generalized two-component Dullin-Gottwald-Holm system and the last one is the two-component water- wave system. The blow-up and persistence property in finite time for these models will be investigated in this project. New mathematical techniques and methods will be needed to address these problems, such as taking the advantage of weight function, constructing the new function and establishing the convolution estimates related to parameters. The implementation of the project will bring a comprehensive knowledge to the characters of the shallow water wave equations and promote the application of the shallow water wave equations in physics research.

本项目主要针对浅水波理论中修正的b-family方程，广义的双组分DGH方程组和非线性双组份水波方程组这三类方程进行研究。在项目的实施中，将寻求新的数学工具和方法，包括在b-family方程中利用加权函数、广义的双组分DGH方程组中构造新函数、非线性双组份水波方程组中建立与参数相关的卷积估计等来解决方程解的爆破和衰减持续性等问题，这将有利于对非线性浅水波方程性质的全面了解和推进浅水波方程在物理学等方面的应用。

水波是人们最熟悉的波动，因此也是最早得到关注和研究的一种波。因此对非线性水波方程的研究具有重要的理论和实际意义。而具有尖峰孤子解和波裂现象的 Camassa-Holm型方程是最近研究的一个热点，其中波的破裂现象在一定程度上可以预报自然灾害(如海啸、地震)从而减少损失。在本项目中，我们针对浅水波理论中修正的b-family方程，广义的双组分DGH方程组和非线性双组份水波方程组，主要采用沿着特征线追踪爆破量的动力学行为的思想，并分别在b-family方程中利用加权函数、在广义的双组分DGH方程组中构造新函数、在非线性双组份水波程组中建立与参数相关的卷积估计等技巧得到了这三类方程解的有限时间爆破和衰减持续性。本项目的这些研究进一步地揭示了波的相关动力学行为，解释并解决实际情况中出现的问题，并推广非线性水波方程在物理学方面的应用。在该项目的执行过程中，我们发表了5篇论文。