随机变换及相关倒向随机微分方程理论与应用

This project is devoted to studying a new type of transform theory in stochastic signal processing, which is based on the stochastic analysis and signal analysis containing measure transform, backward stochastic differential equations, and classical transform. We will study the basic feature of stochastic transforms, the theory of discrete stochastic transforms, and the generalized continuous stochastic transforms. At the same time, we will research the property of stochastic transforms via that of backward stochastic differential equations. Further, we will apply our theoretical results to stochastic signal analysis and processing. This project will develop the theory of stochastic analysis, provide a kind of new tool for stochastic signal processing, promote the progress of backward stochastic differential equations, and has important research value.

本项目以测度变换、倒向随机微分方程、经典变换为核心，在随机分析与信号分析理论基础上，研究随机信号处理中一系列新型变换理论。研究内容包括随机变换的基本特性、离散随机变换理论以及广义连续随机变换理论等方面；同时，以倒向随机微分方程的性质理论研究随机变换性质；进一步，将理论结果应用于随机信号分析与处理领域。本项目的研究工作不仅可以推动随机分析理论的发展，更为随机信号处理提供一类新型的研究工具，同时也能够推进倒向随机微分方程理论的发展，是一项具有较高研究价值的新课题。

本项目深入研究了随机变换的基础理论及倒向随机微分方程的相关理论。首先，研究了线性系统中的跳扩散随机过程和时滞随机过程的性质以及相关正倒向随机微分方程的可解性。其次，研究了记录时及相应计数过程相关的渐进性质。最后，研究了无穷时间上的带马尔可夫链的倒向随机微分方程以及反射倒向随机微分方程解的存在唯一性。本项目得到了两类线性系统的跳扩散随机信号以及时滞随机信号的基本性质，在此基础上，本项目可以进一步对这两类信号的随机变换给出定义和性质，并可以利用随机变换的卷积性质对此类随机信号进行频率处理。在记录时及相应计数过程理论的研究基础上，可以进一步得到此类随机过程的离散随机变换，并将其应用到工程问题中。关于BSDE的理论研究，一方面发展了BSDE的理论，另一方面可以为将来关于更加广泛的随机变换的进一步研究奠定理论基础。