不定线性二次随机最优控制与随机微分对策理论及应用

This project is devoted to studying the stochastic linear-quadratic (LQ) optimal controls and differential games with indefinite control weight costs, including some important cases, such as mean-variance, mean-field, time-inconsistent and large population problems. The main methods are based on the introduction of "relaxed compensators", which points out the essence of stochastic LQ problems. We will relax the condition of LQ problem from the positive definite case to the indefinite case in a new viewpoint. This method avoids discussing the solvability of Riccati equations, then it is more effective, direct and convenient than classical methods. Meanwhile, based on the research of indefinite LQ problems, we will study and develop the corresponding theory of forward-backward stochastic differential equations and Riccati equations for various cases under new conditions as well. Moreover, will obtain the optimal controls, equilibrium controls and approximated Nash equilibria in open-loop forms and closed-loop forms. The theoretical results will be applied to solve some financial problems such as mean-variance portfolio selection problem. By virtue of the research of this project, we will develop the theories of stochastic optimal controls, stochastic differential games and the related stochastic differential equations. At the same time, we will provide the valid theoretical foundation for the assets pricing, the selection of Nash equilibria, the construction of portfolios and so on. This project admits both theoretical and applied values.

本项目拟研究控制权阵不定条件下的线性二次随机最优控制与随机微分对策理论及应用，其中包括均值-方差、平均场、时间不一致及大人口系统等重要情形。本项目所采用的主要方法基于“放松补偿子”的引入，从线性二次问题的本质入手，在条件放松层面上避免讨论Riccati方程的可解性，以新的角度更加有效、便捷、直观地研究不定线性二次问题。同时，基于对不定线性二次问题的研究，我们可以在新条件下研究多种情形的正倒向随机微分方程、Riccati方程相关理论。进一步，得到最优控制、均衡控制及渐近Nash均衡的开环表达式、闭环表达式。在理论研究的基础上，我们将深入探讨金融领域中的实际问题，例如均值-方差投资组合选择问题。本项目致力于完善和发展随机控制及随机微分对策问题，同时发展相关随机微分方程理论，并为金融产品的定价、Nash均衡的选取、投资组合的选择等一系列实际问题提供切实可行的理论依据，具有理论价值和应用价值。

本项目主要研究了一系列具有重要意义的随机最优控制与随机微分对策问题以及相关随机微分方程理论。我们主要的研究内容包括不定情形平均场线性二次随机最优控制问题的研究、不同信息结构的时滞系统随机最优控制问题的研究、线性二次随机微分对策问题和随机大人口随机问题、一般系统的随机最优控制问题和相关正倒向随机微分方程的可解性。在随机最优控制问题研究中，我们通过发展和深化放松补偿子的方法，彻底地解决了不定情形下的带有平均场的线性二次随机最优控制问题，并利用所得的理论结果对连续时间均值-方差投资组合选择问题给出了直接而有简单的证明。通过连续性方法，我们证明了一类带有时滞的超前正倒向随机微分方程的解的存在唯一性问题，进而彻底解决了完全信息带有递归效用的随机时滞系统的线性二次最优控制问题。借助于倒向分离技术，我们进一步解决了更符合实际的部分信息问题。另外，我们研究了大种群平均场对策问题及Stackelberg随机微分对策问题：在带有控制耦合的线性二次随机大人口问题，通过精确的阶数估计，我们得到渐近Nash均衡策略。进一步通过引入分离技术，巧妙地将个体的信息和公共的信息分开，从而将正倒向随机微分方程进行分离，得到了控制耦合的极限的结构；在Stackelberg随机微分对策问题中，我们证明了一类极其复杂具有自相似结构的正倒向随机微分方程的解的存在唯一性问题，进而为研究一类带有跳扩散的广义Stackelberg对策问题提供了有力的工具。除此之外，以上所研究的问题都涉及随机微分方程，特别是正倒向随机微分方程。受此启发，我们也研究了一些正倒向随机微分方程的可解性以及相应的随机最优控制问题。本项目得到一系列随机控制和随机微分对策领域的国际上先进的理论结果，并应用于金融数学中的投资策略问题。此外，本项目也研究了数据处理和分析的相关问题，所得到的结果将对实际投资行为起到很好的指导和参考作用。