倒向随机微分方程（BSDE）及其应用

可违约框架下的BSDE（带随机违约时间的BSDE）是一种新型的BSDE，该理论在可违约市场及PDE等领域都有广泛应用。对于此类方程，我们拟研究其解的生存性进而得到比较定理成立的充要条件；此类BSDE解与PDE粘性解之间的对应关系也是我们将要研究的一个课题。作为一个重要应用，也是对此理论的一大拓展，我们将探讨BSDE与首家违约篮子衍生性信用商品定价问题间的关系。此外，我们还将研究由G-布朗运动驱动的一类反射BSDE及超前BSDE的存在唯一性及比较定理。并试图通过讨论耦合的由G-布朗运动驱动的（超前）BSDE与（滞后）SDE解决一类随机控制问题。我们希望，通过该项目的研究，能够得到一系列国际前沿、国内领先、应用性强的结果，拓展BSDE理论的框架，使其在金融数学、随机控制及PDE等领域有更广泛的应用。

可违约框架下的倒向随机微分方程（BSDE）是一种新型的BSDE，本项目研究了此类方程的反射解及其比较定理，并展示了其在衍生品定价及控制领域中的应用。我们还研究了几类方程及其解的属性，通过讨论一般的超前BSDE的反射解进而处理了一类带有泛函障碍的反射方程，给出了超前BSDE较已有结果更为一般的比较定理，利用随机生存性质证明了带跳随机微分方程比较定理成立的充分必要条件。此外，我们对完全耦合的正-倒向随机泛函微分方程进行了讨论，并解决了一类泛函随机系统中的随机最优控制问题。本项目在一定程度上拓展了BSDE理论的框架，使其在金融数学、随机控制等领域有了更为广泛的应用。然而也有一些问题尚未解决，如可违约框架下BSDE解的比较定理成立的必要条件，及G-理论中因鞅表示定理的缺失而难以深入研究的G-布朗运动驱动的BSDE，诸类问题尚待深入探索。