多值倒向随机微分方程及相关控制问题研究

This project aims to consider a class of multi-valued backward stochastic differential equations involving subdifferential operator of a convex function and the related control problems. Our research work mainly includes the following detailed contents. Firstly, we will prove the existence and uniqueness of the solution for the multi-valued backward stochastic differential equations with time-delayed operator by means of the penalization method. Moreover, we give a probabilistic formula for the viscosity solution of a class of partial differential integral inclusions by constructing adequate viscosity subsolution and supersolution. Secondly, we will establish the existence and uniqueness of the solution for a class of multi-valued backward stochastic evolution equations by means of Galerkin approximation and penalization methods in Hilbert spaces. We will also consider the approximate controllability for this kind of equation by constructing an adequate controllability Grammian. Our results will be applied to the existence, uniqueness and approximate controllability for some classes of multi-valued backward stochastic partial differential inclusions, also called as multi-valued backward stochastic varational inequaties. Thirdly, we will establish the maximum principle of the optimal control for multi-valued stochastic evolution equations by means of multi-valued backward stochastic evolution equations in Hilbert spaces.

本项目旨在研究含有凸函数次微分算子的多值倒向随机微分方程及相关控制问题。主要包括：利用惩罚函数法给出含有时滞算子多值倒向随机微分方程解的存在唯一性，通过构造合适的粘性上、下解的方法给出其在一类含时滞的多值偏微分-积分包含粘性解概率表示等方面的应用；通过Galerkin逼近以及惩罚函数等方法建立Hilbert空间中多值倒向随机发展方程解的存在唯一性，通过构造合适的控制函数给出其逼近可控性的结论并由此探讨几类多值倒向随机偏微分包含（亦称为多值倒向随机变分不等式）解的存在唯一性及其逼近可控性；以Hilbert空间中多值倒向随机发展方程为工具探讨Hilbert空间中多值随机发展方程最优控制的最大值原理。

作为随机微分方程的一个重要分支，含有极大单调算子多值随机微分方程的相关性质及应用的研究引起了国内外学者的极大兴趣。作为近年来发展起来的倒向随机微分方程由于其广泛的应用性而备受关注。特别地，深入研究多值倒向随机微分方程的相关问题极其应用有其理论背景和应用前景。基于此，本项目旨在研究含有凸函数次微分算子的多值倒向随机微分方程及相关控制问题。主要研究内容和结果如下：. 1、多值平均场倒向随机微分方程的相关研究。利用Yosida逼近，通过罚函数法构造逼近序列，探讨了一类多值平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性。通过和多值正向平均场随机微分方程的耦合，给出了一类具有非局部条件的抛物型变分不等式的粘性解的存在唯一性。此外，还研究了一类一般概率空间中的平均场倒向随机微分方程，给出了解的存在唯一性及解的比较定理。. 2、以G-布朗运动驱动的多值倒向随机发展方程为工具探讨了一类随机最优控制问题最大值原理。同时证明了相应的值函数是一类非线性偏微分便分不等式的粘性解。. 3、利用惩罚函数法给出含有时滞算子多值倒向随机微分方程解的存在唯一性，通过构造合适的粘性上、下解的方法给出其在一类含时滞的多值偏微分-积分包含粘性解概率表示等方面的应用。. 4、G-布朗运动驱动的随机微分方程的若干研究结果。G-布朗运动和倒向随机微分方程息息相关。课题在研究过程中注重进行相关交叉研究。讨论了几类相关随机微分方程的性质。. 5、对Hilbert空间中多值随机发展方程进行了预研，为深入研究其可控性、最优控制等打下了基础。. 课题所得研究成果丰富和发展了倒向随机微分方程及相关领域。课题研究内容在国际知名期刊发表研究论文7篇，其中SCI期刊6篇。在项目实施过程中，也注重研究的培养和学术交流活动。项目部分成果获得安徽省科学技术三等奖。