几类随机浅水波方程（组）的研究

It is well-known that the existing shallow water models were established under ideal conditions. But, the external environment is not confirmable. In order to describe nature phenomena more better, it is necessary to consider some stochastic effect on the well-known existing shallow water models. So, we consider some class of shallow water models driven by Gauss process and Lévy process. It contains b-family equation (system), Dullin-Gottwald-Holm equation (system), Ostrovsky equation and so on. We will establish the well-posedness, the small-time asymptotic behavior, large deviation principle and the long time behavior of the solutions.

我们知道已有的浅水波模型都是在理想环境下建立的。然而，由于外部环境的不确定性，为了能更好的描述自然现象，有必要在已有浅水波模型的基础上考虑一些随机效应的影响。因此，我们在本项目中考虑Gauss过程和Lévy过程驱动的几类浅水波模型，包括b-family方程（组）、Dullin-Gottwald-Holm 方程（组）、Ostrovsky方程等。我们将建立随机浅水波方程的适定性、解的小时间渐近行为、大偏差原理和解的长时间行为。

近一二十年来，确定性环境下的浅水波方程(组)解的存在唯一性，爆破等性质的研究取得很大的进展。然而，现实环境总是存在不确定性，因此有必要考虑随机浅水波方程。本项目建立了一系列随机浅水波方程的适定性和大偏差原理，包括随机高阶Camassa-Holm（CH）方程、随机Degasperis-Procesi（DP）方程、随机修正的CH方程、随机b-family方程组及长波模型中控制短波的随机可积方程等。在这些工作的研究过程中，发现了其中存在的问题和解决他们的关键点，这些是随机偏微分方程在这类方程的一个重要应用，为进一步考虑随机效应对该类方程的其他的影响提供的良好的基础。在研究的过程中，我们也充分利用得到的技巧去解决其他随机偏微分方程领域的问题，如随机分数次偏微分方程，随机Hartree方程等。