置换群在对称图上的应用

In the field of algebraic graph theory, there are two basic problems about construction and classification of the graph. Since the semisymmetric graphs is regular,edge-transitive but not vertex-transitive and semi-Cayley graph is important to many fields of graphs, such as strongly regular graphs, Hamiltonian graphs, semisymmetric graphs and the spectrum of graphs. It is of great significance to investigate these two graphs. In this project, we will construct some semisymmetric graphs from affine geometries, and classify semi-Cayley graphs over finite abelian group with small valencies.On the research methods, we combining the finite group theory, the permutation group, combinatorial theory, topological graph theory, and then obtain more significant results. Especially, we shall find some new methods of applications of group theory on combinatorial structures ,and thus providing some effective tools for our further research.

在群与图的领域中，图的构造和分类是两个基本问题。由于半对称图具有正则的边传递而非点传递的独特性质以及semi-Cayley图对强正则图、Hamiltonian 图、半对称图以及图的谱等方面的研究都起着重要的作用，所以对这两类图的研究是很有意义的。本项目将探索通过仿射几何来构造半对称图，以及系统的分类有限交换群上小度数的semi-Cayley图。在方法上，我们将运用有限群论及置换群的方法，借以组合论和拓扑图伦的知识，从而得到更深刻的结果。特别指出的是，在解决具体问题的同时，我们还将重点发现一些群论在组合结构中应用的新方法，从而为今后的进一步研究提供可借鉴的工具。

本项目主要探讨有限置换群在对称图上的作用，并借助计算机软件Magma和Gap来辅助计算，从而解决对称图中的一些重要问题。我们主要研究以下四个问题：1.利用仿射几何构造半对称图 2. 向量空间上的正则组合图的研究，并给出其自同构群以及图的对称性质。3. 仿射空间上的包含图的研究，并给出其自同构群以及图的对称性质。4. 分类一些非交换群上Semi-Cayley图。在方法上，我们将置换群的理论、组合方法和拓扑图论等工具结合起来，研究图的对称性质，同时通过图的自同构群来研究群的结构,从而得到更深刻的结果。本项目按原计划进行了研究，已发表在SCI期刊上的论文3篇，均标注本基金资助。在项目的资助下，培养硕士2人，参加国内会议10人次。