2p^3 阶半对称图及其相关问题的研究

This project is related to finite group theory, algebraic graph theory and topological graph theory. An finite, undirected, simple and regular graph is called semisymmetric if it is edge-transitive but not vertex-transitive. In 1967, Folkman proved that there is no semisymmetric graph of order 2p and 2p^2, where p is a prime. We already know some (but very few) semisymmetric graphs of order 2p^3. For instances, the well-known Gray graph, which is of order 54. Therefore, to classify semisymmetric graphs of order 2p^3 is one of interesting problems and it is also very difficult. In this project, basing on our known results we shall study the properties and constructions of semisymmetric graphs of order 2p^3, by combining the finite group theory, the permutation group, and the regular covering of graphs in topological graph theory as well, and our researches will provide more fruitful and useful results and methods for classifying all such graphs completely in the future. To do this, we need to pay attention to the study of some related finite permutation groups, finite simple groups and construction of semisymmetric graphs by using affine geometries.

本项目属于有限群论、代数图论和拓扑图论的交叉领域。一个有限的无向简单正则图，如果是边传递但非点传递的，则称它是半对称的。1967年，Folkman证明了不存在2p和2p^2阶的半对称图，这里p为素数。我们已经知道存在2p^3 阶的半对称图，比如著名的54个点的Gray图。然而，其它已知的2p^3阶的半对称图却很少。于是，系统的研究和分类2p^3个点的半对称图就成为了一个很有意义的课题，同时也是非常困难的。本项目将在前期研究成果的基础上通过有限群论及置换群的方法，并借以拓扑图论中的覆盖等方法来系统的研究2p^3个点的半对称图的性质和构造，进而为以后完成此类图的完全分类提供有用的结果和方法。为了完成这项工作，需要对相关置换群和有限单群的结构以及利用仿射几何构造半对称图等问题做专门的研究。

本项目主要致力于2p^3个点半对称图的研究，取得了一些新成果。半对称图是边传递非点传递的正则图。本项目运用具有边传递性的双陪集图作为工具，并结合置换群和组合图论的知识来寻找非点传递的图，从而达到研究半对称图的目的。对于自同构群在两个部集上是忠实的，且在一块部集是本原的情形，得到四类54个点的半对称图。其中，3度图就是著名的Gray图。对于自同构群在两个部集上都是非本原的情形，给出了2p^3个点的素数度图的完全分类。同时，在项目的研究过程中，还得到了一些p^3阶传递群的刻画。本项目的研究不仅丰富了大度数半对称图的例子，而且推进了素数度半对称图的研究，在一定程度上，也提供一些半对称图的相关性质，同时，在二十年未取得进展的半对称图的分类研究，取得一些结果。为今后的半对称图的研究提供了一些新例子，新思路，对半对称图也有一定的理论意义和参考意义。