亚拟本原置换群、对称图和对称地图

Permutation group theory is a powerful tool in studying symmetric objects. Symmetric graphs have natural links to many important mathematical objects. Graph embedding (map) has become more and more important with a wide spectrum of applications in pattern analysis, representation, visualisation. This project proposes to study an important class of permutation groups, called meta-quasiprimitive permutation groups, and the application of meta-quasiprimitive groups on arc-transitive graphs and maps. An O’Nan-Scott-Praeger type of theorem on meta-quasiprimitive groups will be given which would be the important first step of studying non-quasiprimitive groups. This would provide us with a powerful tool for understanding the structure and the action of general transitive permutation groups. The study of symmetric graphs would extend Praeger’s theory on s-arc-transitive graphs, provide a useful framework for analyzing s-arc-transitive graphs. Some important classes of arc-transitive maps would be characterised, a few important regular maps would be constructed as well. This would enhance the understanding of maps. Combining the methods in permutation groups, graphs and maps, this project would represent an important research direction for both algebraic graph theory and map theory.

置换群理论是研究具有对称性质的对象的重要工具。对称图与很多重要的数学对象有着自然的联系。此外，随着在图形分析、表示论、可视化等方面的广泛应用，图的嵌入(地图)的研究也变的越来越重要。本项目主要研究一类重要的置换群：亚拟本原置换群，并研究其在对称图和对称地图上的应用。该项目将对亚拟本原群给出一个类似于O’Nan-Scott-Praeger形式的结构定理，这是研究非拟本原群的非常重要的一步，为人们理解一般传递置换群的结构和作用提供了有力的工具。对称图的研究结果将拓展Praeger关于s-弧传递图的理论，给出基本s-弧传递图的最小覆盖，为研究一般的s-弧传递图提供新的有效的方法。弧传递地图的研究将刻画几类重要的地图，也将会构造出若干重要的正则地图，加深人们对地图的理解。该项目将置换群、图论和地图三个方向有机的结合起来进行研究，为这三个方向的研究提供了新的方法和思路。

置换群理论是研究具有对称性质的对象的重要工具。对称图与很多重要的数学对象有着天然的联系。此外，随着在图形分析、表示论、可视化等方面的广泛应用，图的嵌入（地图）的研究也变得越来越重要。本项目对置换群、对称图和对称地图三方面的一些有趣的问题进行了研究，主要包括以下几个方面：1. 对弧传递地图进行了系统的研究，主要结果构成了一篇长110多页的长论文。在该文章中，我们建立了一个研究弧传递地图的理论, 并分类了自同构群为几乎单群的点本原图的弧传递嵌入；2. 给出了G-vertex-rotary地图的刻画；3. 研究了二步拟本原群，给出了类似于拟本原群的著名的O’Nan-Scott-Praeger定理的结构性刻画。该类群为研究非本原群的第一步；4. 完成了包含一个传递二面体子群的非置换群的刻画，给出了该类群的递归刻画；5. 系统的研究了置换群的EKR-问题，特别是本原群和拟本原群的EKR-问题。证明了经典的EKR-界对于一般的传递置换群远不是对的，从而发展了EKR-问题的一个置换群论的版本，并且对于2维线性群的EKR-问题给出了刻画；6. 给出了仿射型点传递自补图的一般性构造，并构造了几类新的自补Cayley图；7. 对正规弧传递循环图进行了研究刻画, 该结果将Li-Xia-Zhou关于弧传递循环图的结果中未完成的部分做了刻画，从而完成了弧传递循环图的刻画；8. 刻画了次正规2-弧传递Cayley图，并且证明了该类图要么时正规Cayley图，要么为一个完全二部图的正规覆盖。