置换群理论在组合结构中的应用

Because of the combinatorial researches of algebra and combinatorics, the study of combinatorial structures associated with permutation groups has become an active research topic. For a combinatorial structure, it is important to determine its automorphism groups and moreover construct and classify the structure itself. In this project, we mainly study the relationship between the permutation group theory and combinatorial designs or graphs. The specific research problems are as follows:.1. Construct and classify block-transitive 4-(v,k,λ) designs, especially for the block-transitive 4-(v,k,λ) designs admitting projective linear groups as its isomorphism groups;.2. Study the isomorphism problems of vertex-transitive graphs, especially for the connected G-vertex-transitive cubic graphs..The studies of these problems are valuable to construct and classify new combinatorial designs and graphs, using the theories and methods of the permutation groups. Moreover, we also try to understand the structures and properties of the groups by the structures of combinatorial designs and graphs.

置换群理论与组合结构的关联研究，是代数学与组合学交叉渗透而形成的一个活跃的研究领域。如何利用置换群理论确定组合结构的自同构群，进而构造并分类该类组合结构，是代数组合中非常重要的研究内容。本项申请主要研究置换群理论与区组设计及图论的联系，具体研究内容如下：一、构造并分类区传递4-(v,k,λ)设计，特别是以射影线性群为自同构群的区传递4-(v,k,λ)设计；二、点传递图同构问题的研究，特别是对连通的G-点传递三度图的同构问题的研究。本项目研究既可以利用置换群的理论和方法构造并分类新的区组设计和图，又可以利用区组设计和图的结构来理解群的结构和性质。

把群与某种组合结构联系起来进行交叉研究是目前研究的热点。本项目主要利用置换群研究区组设计及图。在假设区组设计或图的自同构群具有良好传递性的条件下，利用群的结构及性质，试图构造并分类该设计或图。我们取得的主要研究成果：.1.参加了“国际群与代数会议”、“组合数学和图论国际会议”、“第六届全国组合数学与图论大会”等学术会议。.2.利用群G的性质及其子群结构，确定了G-点传递图为GI-图的充分必要条件，提出猜想：连通的G-点传递三度图的同构问题可由Aut(G)的性质决定，并证明了对于几类单群：零散单群、交错群、李型单群等，该猜想成立。.3.对于一个强连通的有向图，如果该图的任意两个有向圈至多有一个公共点，则称为有向仙人掌图。令D是有向仙人掌图的距离矩阵，证明了det(D)≠0，并给出了距离矩阵D的行列式和逆的显式公式。 .4.考虑连通的满载单圈图，即在圈上的顶点的度至少为3的单圈图，确定了具有最小和最大度电阻距离的满载单圈图，刻画了取极值情形时的图。.5.在以射影线性群为自同构群的区传递4- (v,6,λ)设计的研究基础上，分类并构造了以射影线性群为自同构群的区传递4- (v,k,λ)设计。