大型稀疏非对称线性方程组的预处理及高效算法研究

电路模拟，流体力学，图像重构，线弹性力学，电磁学，散乱数据拟合，最优控制及马尔科夫分析等实际问题中产生了大量的大型稀疏非对称线性方程组。如何高效，迅速且稳定地求解这类线性方程组一直是科学与工程计算研究领域中最基本的问题之一。解决这类问题的预处理迭代算法，特别是预处理子的构造和性质，是一项具有重要的理论和实际意义的富有挑战性的课题。本项目将对这类问题的krylov子空间迭代算法及其预处理作深入具体的研究，通过预处理，增强非对称线性方程组迭代解法的有效性和健壮性。具体内容包括：不完全LU分解、近似逆方法、不完全QR分解及代数多重网格方法，针对实际问题中矩阵的结构和性质研究迭代算法及预处理技巧；对奇异问题、鞍点问题、反对称占优问题及复数矩阵问题，研究krylov子空间迭代算法及预处理技术，并构建相应预处理迭代算法的软件包。

项目组研究了具有奇异源与间断系数的偏微分方程组的浸入界面方法。研究了求解区域具有裂缝的偏微分方程组。从离散细节入手，将离散技巧与预处理子空间方法结合较好地求出了问题的解；研究了系数矩阵为二循环矩阵线性方程组加速迭代法的最优参数的选取。为相关问题提供了预处理子。研究了求解非线性方程的牛顿类迭代法，给出了提高其收敛阶的三种迭代公式；研究了非光滑非线性方程组的迭代解法，改进了相关结果；从而将线性问题的研究向非线性问题作了拓展。项目组研究了关于非负矩阵双分裂的迭代解法的收敛性，H矩阵并行SSOR多分裂的收敛性，波性松弛法解代数微分方程初值问题。这些问题的收敛性分析为奇异线性方程组的迭代算法提供了很好的预处理子。