若干离散可积系统初边值问题解的长期行为研究

In recent years, Riemann-Hilbert method/Fokas method/Deift-Zhou method have been well successfully applied in initial value problem and initial-boundary problem of continuous integrable systems. However, a less work on initial value problem and initial-boundary problem of discrete integrable systems, especially to our knowledge, there no any work on the long-time behaviors of solutions of initial-boundary problem of discrete integrable systems. Therefore, this will project concentrate on the following two problems: 1. Long-time behaviors for initial boundary problem of discrete integrable systems with two order matrix Lax pairs on ( half) line or interval. 2. Long-time behaviors for initial boundary problem of discrete integrable systems with three order matrix Lax pairs on（ half）line and interval. The results of this project will contribute the study of properties, structure and inner connections of integrable systems.

近年来，Rieiemann-Hilbert方法/Fokas方法/Deift-Zhou方法在连续可积系统的初值和初边值问题应用已经比较成熟，而对离散可积系统的初边值问题研究较少，特别是离散可积系统初边值问题解的长期行为方面至今尚未见研究结果。为此，本课题打算在这方面重点研究以下二个问题：1.具有二阶矩阵Lax对的离散可积系统在（半）直线或区间上初边值问题解的长期行为。2. 具有三阶矩阵Lax对的离散可积系统在（半）直线或区间上初边值问题解的长期行为。本课题通过将Rieiemann-Hilbert方法/Fokas方法/Deift-Zhou方法引入离散可积系统初边值问题解的长期行为研究中，形成具有创新性的研究方法，研究成果将为揭示可积系统的性质、结构和内在联系提供新的结果和方法。

按照项目计划，我们对离散可积系统在半直线和区间上的初边值问题、以及离散可积系统求解方面做了系统的研究。首先考虑了具有2×2矩阵谱的非线性可积系统在半直线上的初边值问题，在此基础上研究了具有3×3矩阵谱的非线性可积系统方程的初边值问题；其次利用Riemann-Hilbert方法和Dbar方法来研究非线性可积方程的本征函数和Lax对谱矩阵的解析性和对称性，进一步通过求解正则和非正则Riemann-Hilbert问题，得到方程的孤子解；最后从新的离散谱问题出发，通过离散零曲率方程导出离散可积非线性可积系统，并研究了离散可积系统的特征，利用Darboux变换法或规范变换法求出了离散可积系统的解。.共发表SCI论文18篇，培养硕士生2名，举办学术会议2次，邀请专家来山东科技大学作报告10余人次，参加学术会议16余次，并作报告。