可积方程初边值问题解的长时间渐近行为研究

In the 1980s, the Riemann-Hilbert problem, as a more general method than inverse scattering method, began to be applied to the solution and asymptotic analysis of initial / boundary value problems of nonlinear integrable systems. In 1993, Deift, an academician of the American Academy of Sciences, and Zhou, his collaborator, proposed a graceful direct asymptotics analysis method-the nonlinear steepest descent method, to analyze the long-term asymptotics of solution of the initial value of completely integrable systems. In this project, we intend to study the following main contents based on the above problems: (1). Study on the long-time asymptotics behavior of the solutions for iniatial-boundary problem of integrable equations with 2×2 matrix Lax pairs；(2). Study on the long-time asymptotics behavior of the solutions for iniatial-boundary problem of integrable equations with 3×3 matrix Lax pairs. The research of this project not only provides necessary theoretical basis and analytical tools for solving related problems of integrable systems, but also has great significance for the development of integrable systems and differential equations.

上世纪80年代，Riemann-Hilbert问题作为比反散射更一般的方法，开始应用于非线性可积系统求初/边值问题求解和渐进分析。1993年，美国科学院院士Deift及其合作者Zhou提出一种优美的直接渐进分析法-非线性速降法，用于分析反散射完全可积系统初值解的长时间渐进性。本项目基于上述问题拟研究以下主要内容：(1) 与2×2矩阵Lax对有关的可积方程初边值问题解的长时间渐进行为研究；(2) 与3×3矩阵Lax对有关的可积方程初边值问题解的长时间渐进行为研究。本项目的研究不仅对可积系统相关问题的解决提供必要的理论依据和分析工具，而且对可积系统和微分方程理论发展具有重要意义。

Riemann-Hilbert问题是当今比较热门的研究课题，Riemann-Hilbert方法成为研究现代数学领域中诸多问题的一个有效分析工具，因此利用Riemann-Hilbert方法研究可积方程解析解及在可积系统渐进分析方面应用具有重要意义。本课题主要研究成果如下：（1）利用Riemann-Hilbert方法研究了双折射或双模光纤中高阶耦合非线性Schrödinger方程显式解析解，并通解的表达式和丰富图形来研究解的性质及其非线性动力学行为，分析了高阶线性和非线性项系数r对孤子解振幅、周期和相位的影响。（2）利用Riemann-Hilbert方法研究了Heisenberg铁磁中非齐次五阶非线性Schrödinger方程多孤子解和呼吸解，借助Maple软件画出了解的图形，研究了解的传播和碰撞动力学行为。（3）研究了Riemann-Hilbert方法在可积系统渐进分析方面的应用。通过本课题的研究，丰富了可积系统研究内容，不仅为可积系统相关问题解决提供必要的理论依据和分析工具，而且对可积系统和微分方程理论发展具有重要意义。