关于图的距离矩阵的相关特征值的研究

In 1971, Graham and Pollack established a relationship between the number of negative eigenvalues of the distance matrix and the addressing problem in data communication systems. They also proved that the determinant of the distance matrix of a tree is a function of the number of vertices only. This impressive result made distance matrix spectral properties a research subject of great interest. In this project, we will combine graph theory with algebraic method and the proposes of matrix theory to investigate distance matrix spectral properties. We will focus on the following three aspects: 1. the limit points of the least distance eigenvalue of graphs; 2.Stevanović -Ilić conjecture；3.Koolen-Hayat-Iqbal problem.

1971年，Graham和Pollack建立了距离矩阵的负特征值的个数与数据通信系统中寻址问题之间的关系，并同时证明了树的距离矩阵的行列式是一个只与其顶点个数有关的函数。这个引人注目的结果使距离矩阵的谱性质成为一个热门的研究主题。本项目将应用图论和代数相结合的方法以及矩阵的相关理论性质研究距离矩阵的谱性质。在本项目中，我们将重点研究以下三方面内容：1.图的距离最小特征根的极限点；2.Stevanović -Ilić猜想；3.Koolen-Hayat-Iqbal问题。

本项目应用图论和代数相结合的方法以及矩阵的相关理论性质研究图矩阵的谱性质.我们得到了如下主要结果:1.在给定边数及团数（或色数）的图类中刻画了Aα-谱半径达到最大的极图;2.给出了第二大Aα-特征值的Nordhaus-Gaddum下界并刻画极图,并给出了第二大Aα-特征值的两个Nordhaus-Gaddum上界;3.在单圈图补图中得到了距离谱半径最大的极图,并在直径为三的单圈图补图中得到了最小距离特征值最大的极图,并将以上结果推广至距离无符号拉普拉斯谱;4.当α∈[0,1]时,我们在树的补图中得到了Dα-谱半径分别达到最大及最小的极图;当α∈[0,1/2]时,我们在单圈图的补图中得到了Dα-谱半径最大的极图;5.在给定最大度,悬挂点数,直径,完美匹配的树的补图中分别刻画了距离谱半径达到最大的极图;6.证明了当负边的导出子图是支撑树的非平衡符号完全图中最大邻接特征值达到最大的极图.并在负边的导出子图是支撑树的符号完全图类中完全刻画了最小邻接特征值最小的极图;给出了直径至少为2的符号图最小距离特征值的上界,并刻画了最小距离特征值在属于[-2,-1]的所有连通符号图.