非光滑非凸优化问题的交替线性化算法及其应用

The project will research alternating linearization algorithms and applications for minimizing the sum of two functions for nonsmooth nonconvex optimization problems which arise in many natural science and applicatons of practical engineering interest. Based on the foundations of convex analysis, variational analysis and nonsmooth optimization, the main research contents are as follows. Firstly the alternating linearization algorithms for minimizing composite functions are studied by exploring the separate substructures. Secondly, we try to extend the alternating linearization bundle algorithms to nonsmooth nonconvex setting. Thirdly, the inexact alternating linearization algorithms are constructed for nonsmooth nonconvex optimization problems. Finally, the accelerate technique for algorithms is considered and all the algorithms in our project will be applied to compressed sensing and other fields. The anticipated results will play an active promoting role for the development of theory and numerical methods of nonsmooth nonconvex optimization.

本项目研究一类在自然科学和工程实际中具有广泛应用的极小化两个函数和的非光滑非凸优化问题的交替线性化算法及其应用。本课题组以凸分析、变分分析与非光滑优化等理论为基础，主要内容包括研究求解一类具有某些特殊结构的非光滑非凸复合优化问题的交替线性化算法，构造极小化非光滑非凸优化的交替线性化束方法、非精确交替线性化算法与加速交替线性化算法，并将所构造的算法应用于压缩感知等实际应用领域。期望本项目对非光滑非凸优化的理论与数值方法的研究对该领域的发展起到积极的促进作用。

许多自然科学和工程实际中的数学模型都包含非光滑函数，例如在科学工程中考虑摩擦的接触问题分析，岩土力学中的弹塑性分析，脱层以及破坏问题的数值模拟等；计算力学中的特征值优化问题；绿色制造模式中的一类非光滑非凸优化制造决策模型；图像恢复与分解问题中非凸非光滑模型等等。交替线性化算法用于求解某些具有可分离结构的两个函数和的优化问题，将原问题转化为交替求解两个线性化模型的正则化子问题，通过交替迭代收敛到最优解。当目标函数具有某些特殊结构时，例如目标函数其中一个为可微函数，另一个为非光滑函数；目标函数其中一个为凸函数，另一个为非凸函数等等，或者某个函数具有解析形式的邻近点时，算法将非常高效。本项目研究求解具有特殊结构的非光滑优化问题的交替线性化数值算法构造以及收敛性分析的建立，并以MATLAB 语言为工具编制有效的算法程序，同时将此类算法应用到实际应用领域。在项目执行期间，首先研究求解一类具有特殊结构的非光滑优化问题的交替线性化算法；其次研究具有特殊结构的非光滑非凸优化问题的交替线性化算法；第三，研究求解极小化两个函数和的非精确交替线性化算法；第四，研究极小化连续可微凸函数与非光滑函数和的交替线性化算法；第五，研究交替线性化束方法与加速算法；最后将算法应用于随机规划与压缩感知等实际应用领域。.在本项目的基础上，项目负责人李丹与项目组成员陈爽分别入选辽宁省第十批百千万人才工程计划“万”层次(2016年)和辽宁省第十一批百千万人才工程计划“万”层次(2017年)；项目组成员陈爽获得国家自然科学基金2项；项目累计发表学术论文7篇，其中EI检索1篇，SCI检索2篇，ISTP检索论文2篇；接收SCI检索论文1篇；培养硕士研究生5人，本科生若干人等。相信本项目对交替线性化算法理论与数值方法的研究对该领域的发展起到一定的促进作用。