重整化理论在基础数学中的应用

我们这一研究项目计划以重整化方法来从代数上来探讨多元zeta函数值的结构，同时作为研究多元zeta函数值和Gromov-Witten不变量的准备，讨论Frobenious流形的构造和其高亏格势的构造，以及多元zeta函数值和Frobenious流形之间可能的联系。前几年对重整化方法的研究运用使得我们对这一方法在基础数学中应用有了较好的把握。在这一阶段，我们计划采用重整化理论研究的具体问题有：方向多元zeta函数值stuffle关系的含义，锥上多元zeta函数值的结构，锥上多元zeta函数值和多元zeta函数值的关系，Drifled有理结合子的构造，有Feymann图来构造Frobenious流形，Frobenious流形高亏格势的表达，条形树的Hopf代数和Feymann图的Hopf代数的关系。

本项目计划以重整化方法来研究多元zeta 函数值和Frobenius流形，以及它们可能的关系，基本想法是应用和推广Connes-Kreimer的重整化框架，试图实现方法上的创新和解决相关问题。项目执行阶段的研究基本按照计划展开，中间略有修改，我们增加了张量的E-特征多项式的研究，而原计划中的有关Drinfled 有理结合子和Frobenius流形的高亏格势探讨因为时间关系没有涉及。本项目执行期间取得的进展概括为如下方面：一：与锥和Feynman图相关的代数结构研究，我们定义了锥生成的线性空间上的余乘结构，由此给出了锥生成的线性空间上的Hopf代数结构，同时我们讨论了锥的剖分结构，及它和其他代数结构的关系，证明了关键结果：锥生成的线性空间(模去剖分关系)和简单分式空间的等价，由此Feynman图生成的线性空间可以看成锥生成的线性空间的子空间；二，多元zeta 函数值的代数结构的探讨，我们把多元zeta 函数值推广为锥上多元zeta 函数值，由此把多元zeta函数值的双洗牌关系解释为锥的双剖分关系；三，由重整化建立Euler-Maclaurin公式的研究，我们推广了Connes-Kreimer的重整化框架，并将其应用于锥生成的线性空间，从而得到了一类广义的Euler-Maclaurin公式；四，由Feynman图来构造Frobenius流形的研究，Feynman法则可以看成Frobenius流形之间的形式变换；五，Orbifold上同调群的结构的讨论，尹晓琴建立了orbifold上同调的inverse transgression映射，由此几何地证明了orbifold上带联络的gerbe的holonomy线丛给出了inertia orbifold上的inner local system；六，张量的E-特征多项式的研究，我们给出了2维空间上张量的E-特征多项式的首项系数。本项目本阶段的研究取得了比较满意的结果，部分结果被整理成3篇发表的论文（其中一篇被Advances in Mathematics接受），以及arXiv上的1篇预印本，其余结果还在整理中。