重整化群方法在非线性动力学中的发展和应用

To cope with the over-demand of computational resources and the difficulty of qualitative understanding in the analysis of high-dimensional, nonequilibrium, nonlinear complex systems frequently encountered in the current scientific frontier, we further extend the application of the renormalization group (RG) method in nonlinear dynamics. The method will be used to search for important organizing orbits in the phase space of a nonlinear system such as homoclinic or heteroclinic orbts, periodic orbits and derive their analytic approximation. Their dependence on external parameters will also be explored. Based on the essential system characteristics and key physical observables, the RG technique will be used to construct important low-dimensional invariant manifolds and the corresponding reduced equations of motion on them, which will enable highly efficient numerical computation and qualitative analysis of these complex systems. According to the invariance of the group equation under evolution, we will also apply the RG analysis to the resummation of series expansion in disparate physics problems, which will give better evaluation in broader parameter regime of interesting physical quantities. The method will be applied to a variety of frontal directions including: the analysis of nonlinear spatiotemporal evolution equation, the size effect of synchronization of coupled oscillators, the efficient simulation of molecular dynamics, the acceleration of convergence of cycle expansions in the periodic orbit theory, the accurate evaluation of growth rates of random sequences and so on.

针对当前诸多前沿领域中出现的多自由度、非平衡、非线性复杂体系计算繁冗和定性理解困难的问题，本项目结合理论分析与数值计算，发展非线性动力学分析中的重整化群方法，找出体系相空间中起组织作用的重要轨道，如同宿或异宿轨道、周期轨道等，导出这类轨道的近似解析表达式，分析它们对参数的依赖关系，从而揭示系统性质的变化；抓住系统的主要特征和关键可观测量，利用重整化群方程半解析地构建约化流形和约化运动方程，大大提高数值计算的效率，为深入的理论分析提供方便；并基于群方程演化不变的特性对各类物理量展开式进行重求和，使得不同手段导出的解析级数序列在更大范围内给出更准确的计算结果。本理论方法将用于非线性时空演化方程的分析，耦合振子同步的尺寸效应，分子动力学的模拟计算、周期轨道圈图展开的加速收敛，随机序列平均增长率的快速准确计算等一系列前沿方向。

1..重整化群在耦合振子同步动力学上的应用 高维非线性方程的分析缺乏系统的方法。重正化群方法在这里又将进一步拓展成为一种有效的坐标变换方法，将非线性方程根据需要变换为便于求解的标准型。在耦合振子系统中，我们获得了相位和振幅的一系列重整化近似，开创了此领域全新的解析方法。..2..重整化群思想在小系统热力学中的应用 与热库接触的小系统，是近年来非平衡统计物理研究的前沿。我们将重整化群思想运用于一个典型小系统平均最优功获取方案的研究，通过新颖的坐标变换得到平均功演化满足的微分方程，将一个较为复杂的随机动力学问题重整化为参数演化的确定性问题，从而获得问题的解，为这一类问题的分析提供了一个崭新的理论框架。..3..利用重整化群思想研究非平衡统计力学 非平衡条件下布朗粒子的定向运动，是各领域广范关注的问题。工作包括两个方面：（1）用Feynman-Kac公式得到平均熵增满足的微分方程，然后利用快慢时间尺度分离得到熵的平均产生率，为大分子有效自由度的探测提供了理论支持。（2）将具有复杂形状的布朗粒子受力重整为几个位形参数的函数，从而得出粒子平均定向运动速度，可以应用于手性分子的分离。..4..复杂网络结构层次的重整化研究 如果能够找出结构和功能之间的联系,就能对网络及其代表的复杂系统有较深入的理解。我们结合图论和动力学信息，对多个细胞生化网络进行多层次的分解，发现了这一类型网络中的重整化结构-即现代控制论中的前导反馈基本单元在各个层次反复出现. 这一研究为复杂系统的分析和进一步约化奠定基础。..5..神经传导带噪信号的重整化群计算 对于离散噪声， 精确度和计算效率的矛盾始终存在。我们利用混合计算法非常有效地求解了描述这一离散过程的主方程：首先基于重整化群变换的思想，以多项式为基函数近似演化生成函数方程，然后随机取样以修正状态。这一算法为其它各种带噪信号的计算提供了新思路。